44、多维B样条：从理论到应用

多维B样条：从理论到应用

1 引言

多维B样条（Multidimensional B-Splines）是NURBS（非均匀有理B样条）技术的重要组成部分，它将一维B样条的概念扩展到了更高维度的空间。这种扩展不仅丰富了几何建模的工具箱，还在等几何分析（Isogeometric Analysis, IGA）中扮演着关键角色。本文将深入探讨多维B样条的定义、数学表述、构造方法及其在几何建模和IGA中的应用。

2 多维B样条的定义

多维B样条可以通过张量积（Tensor Product）的方式从一维B样条推广而来。在一维情况下，B样条是由一组控制点和节点向量定义的曲线。对于二维或多维情况，可以通过多个一维B样条的张量积来构造更高维度的曲面或体单元。

2.1 张量积的概念

张量积是一种将两个或多个低维函数组合成高维函数的方法。对于两个一维B样条基函数 ( N_i^p(u) ) 和 ( N_j^q(v) )，它们的张量积定义为：

[ N_{ij}^{pq}(u, v) = N_i^p(u) \times N_j^q(v) ]

其中，( p ) 和 ( q ) 分别表示两个方向上的阶数，( u ) 和 ( v ) 是参数。

2.2 多维B样条的数学表述

多维B样条的数学表述可以通过张量积的形式表示为：

[ S(u_1, u_2, \ldots, u_d) = \sum_{i_1=0}^{n_1} \sum_{i_2=0}^{n_2} \cdots \sum_{i_d=0}^{n_d} P_{i_1 i_2 \cdots i_d} \prod_{