模拟赛2020.4.23C题题解

题目大意

给你一个有向图，由n个点，m条边组成。你有一种魔法，可以将某条边的方向反转。在你最多使出一次魔法的情况下，使得起点S到终点T的距离最短。

思路要点

套路题。

首先我们把将一条边反转的图像画出来。

我们先考虑上图，没进行反转情况下的图。起点$S=1$，终点$T=5$，那么我们先跑一次$dijkstra$，得出最短距离为$\min (path(1\to 2\to 4\to 3\to 5),path(1\to 3))=path(1\to 3)=5+4=9$。

然后当反转$(5,2)$这条边后，就变成了下图：

这时候我们发现最短路更新了，$path(1\to 2\to 5)=3+1=4$。

这样已经出现了规律，我们再来考虑一幅更清晰的图。

这幅图中，起点$S=3$，终点$T=6$，那么最短路径长度为$path(3\to 1\to 2\to 4\to 5\to 6)=5$。我们先保存这个最短距离$ans=5$。接下来当我们反转$(1,5)$这条边的方向是，最短路径长度就变成$path(3\to 1\to 5\to 6)=3$。

观察两幅图可以得出，当我们翻转$(u,v)$这条边时，最短路$S\to T$会有一种新的走法$S\to v\to u\to T$。所以当我们反转边时，只要考虑点$S$和点$T$距离$(u,v)$的距离。但由于有很多条边，很多的$(u,v)$，所以我们不能以$u$和$v$跑最短路，我们将$S$正向建图跑最短路，设为$di{s}_S$数组，将$T$反向建图跑最短路，设为$di{s}_T$数组，所以我们只要枚举每条边$(u,v)$，判断反转当前边后最短路是否更优，比较$di{s}_S[v]+w+di{s}_T[u]$和$ans$即可，其中$w$是边$(u,v)$的权值。

算法流程

首先$O(nlogn)$跑$S$为起点的最短路，然后再$O(nlogn)$跑$T$为起点的反向的最短路。得出$di{s}_S$和$di{s}_T$数组后先保存不反转时的答案。然后枚举每一条边$(u,v)$判断反转这条边后最短路是否更优即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
struct node{
    int id,dis;
    bool operator < (const node & b)const
	{
	    return dis>b.dis;
    }
};
int n,m,S,T,x,y,cnt,ans,a[N],b[N],c[N],new_a[N],new_b[N],f[N],f1[N];
priority_queue<node> Q;//堆优化dijkstra
inline void add(int x,int y){a[++cnt]=y,b[cnt]=c[x],c[x]=cnt;}//邻接表建图
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)cin>>x>>y,add(x,y),new_a[i]=y,new_b[i]=x;
	cin>>S>>T;
	memset(f,inf,sizeof(f));f[S]=0;
	Q.push((node){S,0});
	while(!Q.empty()){
	    node x=Q.top();Q.pop();
		for(int i=c[x.id];i;i=b[i])
		    if(f[x.id]+1<f[a[i]])
			    f[a[i]]=f[x.id]+1,Q.push((node){a[i],f[a[i]]});
	}
    //以S为起点跑最短路
	cnt=0;memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=1;i<=m;i++)add(new_a[i],new_b[i]);
	memset(f1,inf,sizeof(f1));f1[T]=0;
	Q.push((node){T,0});
	while(!Q.empty()){
	    node x=Q.top();Q.pop();
		for(int i=c[x.id];i;i=b[i])
		    if(f1[x.id]+1<f1[a[i]])
		        f1[a[i]]=f1[x.id]+1,Q.push((node){a[i],f1[a[i]]});
	}
    //以T为起点跑反向的最短路
	ans=f[T];//不反转时的答案
	for(int i=1;i<=m;i++)ans=min(ans,f[new_a[i]]+1+f1[new_b[i]]);//枚举每一条边，判断答案是否更优
	return cout<<ans<<endl,0;
}

做题总结

对于一些反转边的方向的题目，有些是这种套路——跑正反两次最短路。这种题目其实并不难想，画几个图手推一下就可以找到规律了。有些难的最短路题一般是建图优化和跑最短路优化。