360百科:
二维公式
d = sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)
三维公式
d=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2)
推广到n维空间,
欧氏距离的公式 :d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^2 ) 这里i=1,2n,xi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标
n维欧氏空间是一个点集,它的每个点可以表示为(x(1),x(2),…x(n)),其中x(i)(i=1,2…n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和y=(y(1),y(2)…y(n))之间的距离d(x,y)定义为上面的公式。
在matlab中实现时,将d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^2 )展开 d=sqrt( ∑(xi1^2-2xi1*xi2+xi2^2))
例:输入样本集a,xi1^2表示在第一个样本点的每一维进行平方并求和,aa = sum(a.*a,2);xi2^2也是如此,xi1*xi2实际上就是a*a',xi1*xi2表示两个样本点的对应维数上的值相乘并求和
>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12]; %a为3维空间中的4个样本
>> aa = sum(a.*a,2); %xi^2,aa为4*1,每个元素代表一个样本的每维的平方和
>> ab = a*a'; %ab是4*4的,每个元素表示两个样本点的对应维数上的值相乘并求和
>> D = bsxfun(@plus,aa,aa') - 2*ab; %按照公式d=sqrt( ∑(xi1^2-2xi1*xi2+xi2^2)),将aa复制4列,aa'复制4行,最后的都的 %D是4*4,每个元素表示两个样本点的欧氏距离
>> D = sqrt(D);
对于更多的样本数也是如此的方法。
还有一种简单的求法,可以得到相同的结果,但效率较低,不适用于样本数多的时候。
当输入两个数据集时:
>> aa = sum(a.*a,2);
>> bb = sum(b.*b,2);
>> ab = a*b';
>> D = bsxfun(@plus,aa,bb') - 2*ab;
>> D = sqrt(D);