素数阶乘法循环群的奇妙性质

这两天闲里偷忙花了些时间读密码学论文，然后发现大家对素数阶乘法循环群情有独钟。在某篇论文中，甚至出现了 $x^{\prime }=x^{\frac{1}{u}}(x\in G,|G|=p)$ 的操作，让我大为迷惑：这开 $u$ 次根都不需要离散对数的？
于是我决定先探究一下素数阶乘法循环群的性质，来考察是否真能这么做。经过一番折腾，我发觉…似乎还真可以这样？遂记录探究过程如下。

首先我意识到我好像没有见过素数阶乘法循环群的实例，问了问 $GPT$ 他给我整了个 $Z_p^{\ast }$ 出来。问题是这玩意儿阶数显然为 $p-1$ 不是个素数（顺便一提，$Z_p$ 倒是个素数阶循环群，可惜是加法循环群）。跑去查了查，查到了 素数阶群一定是循环群 这么个结论，然而依旧没有给出实例。鉴定为这下只能玩抽象的了。

我们假装有这么个循环群 $G$，其阶数为素数 $p$. 我们能推出以下性质：

1. $G$ 必是循环群，且除了单位元 $e$ 以外的元素都是生成元。
   由于一个群的子群的阶一定整除这个群的阶，因此 $G$ 的子群的阶只能是 $1$ 或 $p$，那么它的子群只会是平凡子群 { e } \{e\} {e} 和 $G$ 了。 我们考虑 $g\in G$，那么 $<g>$ 显然是 $G$ 的子群。当 $g=e$ 时，显然 < g > = { e } <g>=\{e\} <g>={e}，而当 $g\ne e$ 时，注意到 $g^0=e\ne g$, $|<g>|$ 显然大于等于 $2$，于是只能有 $<g>=G$ 了，而此时 $G$ 已经是循环群了，$g$ 也成了生成元。
2. $(x^{\frac{1}{u}}{)}^u=x$，其中 $\frac{1}{u}=u^{-1}\mathrm{mod}p,u\ne 0\mathrm{mod}p$.
   首先 $\frac{1}{u}$ 显然是存在的。当 $x=e$ 结论显然成立。而当 $x\ne e$，$x$ 必定是 $G$ 的生成元,$x^p=e$(话说似乎不是生成元好像也有这个性质来着)。那么 $(x^{\frac{1}{u}}{)}^u=x^{u\times \frac{1}{u}}=x^{k\ast p+1}=e^k\times x=x$. 综上结论成立。