12、负数和复数基数的探索

负数和复数基数的探索

1 负数基数

在日常生活中，我们习惯使用正整数作为基数来表示数字，例如十进制（基数为10）、二进制（基数为2）等。然而，数字系统并不局限于正整数基数。负数基数提供了一种新颖且有趣的表示方式，可以用来表示数字，甚至可以简化某些计算。

1.1 负基数的优势

负基数的主要优势之一是它允许在表示负数时不使用负号。例如，在基数-10中，负数-253可以表示为1867，因为：

[ -253 = (-10)^3 + 8(-10)^2 + 6(-10) + 7 ]

这种表示法是唯一的，并且更为经济，因为它不需要额外的符号“-”，并且不存在+0等于-0的问题。

1.2 正数和负数的表示

正数也可以在负基数中表示。例如，253在基数-10中表示为353：

[ 253 = 3(-10)^2 + 5(-10) + 3 ]

在形式上，对于正数基数，一个数字 ( A_b ) 在基数 ( b ) 中，写作 ( {d_n d_{n-1} … d_1 d_0} b )，等于 ( d_n b^n + d {n-1} b^{n-1} + … + d_1 b + d_0 )，其中对于所有的 ( k )，( 0 \leq d_k < |b| )。对于正数基数，数字 ( d_k ) 是使用通常的除法算法计算的。因此，连续的商由 ( q_k = (\lfloor \frac{A_{k+1} - d_k}{b} \rfloor) ) 给出。

1.3 算术运算

在负基数中进行算术运算时，进位数字的问题需要特别注