43_leetcode_Combination Sum II

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#leetcode #算法 #编程语言 #面试 #递归

Given a collection of candidate numbers (C) and a target number (T), find all unique combinations in C where the candidate numbers sums to T.

Each number in C may only be used once in the combination.

Note:

  • All numbers (including target) will be positive integers.
  • Elements in a combination (a1, a2, … , ak) must be in non-descending order. (ie, a1 ≤ a2 ≤ … ≤ ak).
  • The solution set must not contain duplicate combinations.

For example, given candidate set 10,1,2,7,6,1,5 and target 8, 
A solution set is: 
[1, 7] 
[1, 2, 5] 
[2, 6] 

[1, 1, 6] 

1:注意特殊条件， 2:数组排序；3:采用递归，每个数字自能取一次；4:递归终止情况；5:递归进行情况

    <p class="p1">    <span class="s1">vector</span><<span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> > combinationSum2(<span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> &num, <span class="s2">int</span> target)</p><p class="p1">    {</p><p class="p1">        <span class="s1">vector</span><<span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> > result;</p><p class="p1">        <span class="s2">if</span>(num.<span class="s3">size</span>() == <span class="s4">0</span> )</p><p class="p1">        {</p><p class="p1">            <span class="s2">return</span> result;</p><p class="p1">        }</p><p class="p2">        </p><p class="p1">        <span class="s3">sort</span>(num.<span class="s3">begin</span>(), num.<span class="s3">end</span>());</p><p class="p1">        <span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> temp;</p><p class="p2">        </p><p class="p1">        <span class="s5">combinationSum2Core</span>(num, target, <span class="s4">0</span>, temp, result);</p><p class="p2">        </p><p class="p1">        <span class="s2">return</span> result;</p><p class="p1">    }</p><p class="p2">    </p><p class="p1">    <span class="s2">void</span> combinationSum2Core(<span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> &num, <span class="s2">int</span> target, <span class="s2">int</span> index, <span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> &temp, <span class="s1">vector</span><<span class="s1">vector</span><<span class="s2">int</span>> >& result)</p><p class="p1">    {</p><p class="p1">        <span class="s2">if</span>(target == <span class="s4">0</span>)</p><p class="p1">        {</p><p class="p1">            result.<span class="s3">push_back</span>(temp);</p><p class="p1">            <span class="s2">return</span>;</p><p class="p1">        }</p><p class="p1">        <span class="s2">if</span>(index == num.<span class="s3">size</span>() || num[<span class="s3">index</span>] > target)</p><p class="p1">        {</p><p class="p1">            <span class="s2">return</span>;</p><p class="p1">        }</p><p class="p2">        </p><p class="p1">        temp.<span class="s3">push_back</span>(num[<span class="s3">index</span>]);</p><p class="p1">        <span class="s5">combinationSum2Core</span>(num, target - num[<span class="s3">index</span>], index + <span class="s4">1</span>, temp, result);</p><p class="p1">        temp.<span class="s3">pop_back</span>();</p><p class="p2">        </p><p class="p1">        <span class="s2">for</span>(<span class="s2">int</span> i = index + <span class="s4">1</span>; i < (<span class="s2">int</span>)num.<span class="s3">size</span>(); i++)</p><p class="p1">        {</p><p class="p1">            <span class="s2">if</span>(num[<span class="s3">i</span>] != num[<span class="s3">index</span>])</p><p class="p1">            {</p><p class="p1">                <span class="s5">combinationSum2Core</span>(num, target, i, temp, result);</p><p class="p1">                <span class="s2">break</span>;</p><p class="p1">            }</p><p class="p1">        }</p><p class="p2">        </p><p class="p1">    }</p>


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sum(combination) % 2 == 0
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<think>首先，用户意图是寻找满足特定数学性质的组合：组合中元素之和模2等于0，这等价于组合元素之和是偶数。用户的问题是“寻找组合使得组合元素之和是偶数”。 我需要作为专业智能搜索助手，根据用户意图和搜索词进行检索。用户意图已经很明确：寻找组合，使得元素之和为偶数的组合。搜索词可以是“组合元素之和为偶数”、“even sum combinations”等。 任务要求： 1. 调用网络搜索工具进行检索。 2. 整合检索到的内容，生成详细且清晰的回答，具有实用性和可操作性。 3. 禁止将所有引用内容集中在回答末尾。所以，我应该将引用融入回答中，而不是单独列出。 4. 避免使用第一人称如“我”。 5. 避免步骤词汇如“首先”、“然后”。 6. 尽量将答案组织为多个方法或步骤，并在每个步骤间换行。 7. 对于代码和公式，遵循特定格式：行内公式用$ $，独立公式用$$ $$，代码用三个反引号指定语言。 8. 在回答完后，添加相关问题部分：使用“§§相关问题§§:”作为标题，不换行，列出至少3个相关问题，基于用户问题和回答内容。 回答结构： - 组织为多个方法或步骤，每个步骤间换行。 - 避免使用“首先”、“然后”等词。 - 提供实用性和可操作性的内容。 可能的搜索内容： - 数学概念：组合元素之和为偶数的条件。这通常涉及奇偶性。对于一个集合，元素之和为偶数当且仅当奇数的个数是偶数（因为奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数）。 - 算法：如何生成所有这样的组合，或者计数这样的组合。 - 应用：在编程或数学问题中如何实现。 检索后整合： 假设我搜索到： - 在组合数学中，对于一个集合，满足元素之和为偶数的组合数量取决于奇数和偶数的个数。 - 设集合中有o个奇数，e个偶数。 - 那么，一个组合的元素之和为偶数当且仅当组合中奇数的个数是偶数（包括0）。 - 因此，满足条件的组合数为：从o个奇数中选择偶数个奇数的选择方式数乘以从e个偶数中选择任意个数的选择方式数。 - 数学公式：总和为 $\sum_{k=0}^{\lfloor o/2 \rfloor} \binom{o}{2k} \times 2^e$，因为对于每个偶数，可以选择或不选择，不影响奇偶性。 - 更精确地说，从o个奇数中选择偶数个的方法数是 $\binom{o}{0} + \binom{o}{2} + \binom{o}{4} + \cdots = 2^{o-1}$（当o>0时），因为二项式系数的和。 - 实际上，$\sum_{k \text{ even}} \binom{o}{k} = 2^{o-1}$ 对于 o >=1。 - 而偶数的选择：每个偶数可以选或不选，所以有 $2^e$ 种方式。 - 因此，总组合数为 $2^{o-1} \times 2^e = 2^{o+e-1} = 2^{n-1}$，其中n是元素总数，假设集合非空。 - 但这是所有子集的数量的一半，因为一半子集和是偶数，一半是奇数（如果至少有一个奇数）。 对于生成组合，我可以提供算法。 在编程中，如何生成所有和偶数的组合。 回答组织： - 方法1：数学原理 – 解释条件。 - 方法2：计数满足条件的组合数。 - 方法3：生成所有这样的组合的算法（伪代码或代码）。 每个方法间换行。 代码格式：如果包含代码，用三个反引号指定语言。 公式：行内用$ $，独立用$$ $$。 最后，添加相关问题部分。 现在，生成回答。 首先，解释用户问题：用户想找到组合（子集），使得元素之和为偶数。 关键点：元素之和模2等于0，即和是偶数。 条件：组合中奇数的个数必须是偶数。 因为： - 每个奇数贡献1 mod 2，偶数贡献0 mod 2。 - 所以总和 mod 2 等于 奇数个数 mod 2。 - 因此，总和为偶 iff 奇数个数为偶。 所以，方法： 1. 识别集合中的奇数和偶数。 2. 选择偶数个奇数（包括0）和任意个偶数。 对于计数： - 如果集合有 o 个奇数，e 个偶数。 - 满足条件的组合数：$2^{e} \times \sum_{k \text{ even}} \binom{o}{k} = 2^{e} \times 2^{o-1} = 2^{o+e-1}$，当 o >=1。 - 如果 o=0，所有元素为偶数，所有组合和都是偶数，所以有 $2^{e} = 2^{n}$ 个。 - 类似地，如果 o>=1，总子集数 $2^{n}$，一半和偶，一半和奇。 所以，在回答中，提供这些。 对于生成组合： - 在编程中，可以使用回溯法生成所有子集，检查每个子集的和是否偶，但效率低。 - 更聪明的方法：基于奇偶性。 - 生成所有选择：选择一组偶数个奇数，和任意子集的偶数。 - 但任意子集的偶数可以独立处理。 算法： - 分组：将元素分为奇数集和偶数集。 - 对于奇数集，生成所有子集，其中元素个数为偶数。 - 对于偶数集，生成所有子集。 - 然后，组合：每个满足条件的子集是 一个偶数个奇数的子集 并上 一个偶数的子集。 在代码中，可以实现。 提供示例代码。 假设语言：Python，常见。 代码示例： ```python def generate_even_sum_combinations(elements): # Separate elements into odd and even odds = [x for x in elements if x % 2 != 0] evens = [x for x in elements if x % 2 == 0] # Generate all subsets for evens: each element can be included or not from itertools import chain, combinations even_subsets = chain.from_iterable(combinations(evens, r) for r in range(len(evens)+1)) # Generate all subsets of odds with even size odd_subsets = [] for r in range(0, len(odds)+1, 2): # r even: 0,2,4,... odd_subsets.extend(combinations(odds, r)) # Combine: for each even subset and each odd subset, combine result = [] for even_sub in even_subsets: for odd_sub in odd_subsets: combo = list(even_sub) + list(odd_sub) result.append(combo) return result # Example usage elements = [1,2,3,4] combos = generate_even_sum_combinations(elements) print(combos) # This will print all combinations with even sum ``` 但注意，这个代码可能效率不高，因为生成了所有子集，对于大n不实用。但作为示例。 在回答中，解释原理。 组织为步骤： - 步骤1：理解元素之和为偶数的条件。 - 步骤2：计算满足条件的组合数量。 - 步骤3：生成所有满足条件的组合的方法。 每个步骤间换行。 避免步骤词汇，所以直接用标题或描述。 例如： **条件分析** 解释数学条件。 **组合计数** 给出公式。 **组合生成** 描述算法并提供代码。 最后，相关问题。 相关问题基于用户问题和回答： 用户问题：寻找组合使得元素之和是偶数。 回答：关于条件、计数、生成。 所以，相关问题： 1. 如何高效生成所有和偶数的组合？ 2. 如果元素有重复，如何处理？ 3. 对于大集合，如何近似计数或采样？ 4. 应用在编程问题中。 至少三个。 格式： §§相关问题§§: 1. 问题1 2. 问题2 3. 问题3 标题不换行。 现在，草拟回答。</think>### 条件分析 元素之和为偶数的组合要求组合中奇数的个数为偶数（包括0）。每个元素对总和的奇偶性贡献：奇数元素使总和奇偶性变化，偶数元素不影响。因此，给定一个集合，需识别奇数和偶数元素：设 $o$ 为奇数个数，$e$ 为偶数个数，总和 $n = o + e$。 ### 组合计数 满足条件的组合总数取决于 $o$ 和 $e$： - 如果 $o = 0$（全为偶数），所有子集均满足，组合数为 $2^e$。 - 如果 $o \geq 1$，组合数为 $2^{o+e-1} = 2^{n-1}$。 数学推导：选择任意偶数子集（$2^e$ 种方式），并从奇数中选择偶数个元素（$\sum_{k \text{ even}} \binom{o}{k} = 2^{o-1}$ 种方式）。总数为 $2^{e} \times 2^{o-1} = 2^{n-1}$。 ### 组合生成算法 分组生成方法： 1. 将集合分为奇数集和偶数集。 2. 生成所有偶数子集（每个偶数可选或不选）。 3. 生成所有奇数子集，其中元素个数为偶数（例如大小0,2,4,...）。 4. 组合每个偶数子集和每个奇数子集。 Python 实现示例（使用 `itertools`）： ```python import itertools def generate_even_sum_combinations(elements): # 分离奇数和偶数 odds = [x for x in elements if x % 2 != 0] evens = [x for x in elements if x % 2 == 0] # 生成所有偶数子集 even_subsets = [] for r in range(len(evens) + 1): even_subsets.extend(itertools.combinations(evens, r)) # 生成所有奇数子集（元素个数为偶数） odd_subsets = [] for r in range(0, len(odds) + 1, 2): # r 为偶数：0,2,4,... odd_subsets.extend(itertools.combinations(odds, r)) # 组合所有子集 result = [] for even_sub in even_subsets: for odd_sub in odd_subsets: combo = list(even_sub) + list(odd_sub) if combo: # 避免空组合 result.append(combo) return result # 示例使用 elements = [1, 2, 3, 4] combinations = generate_even_sum_combinations(elements) print(combinations) # 输出所有和偶数的组合 ``` 注意：此方法适用于小型集合；对于大型集合，考虑优化（如动态规划）以避免指数级复杂度。 ### 实际应用 - 在编程中，应用于子集和问题或组合优化（如 LeetCode 问题）。 - 数学建模：用于概率计算或密码学中奇偶校验。
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