Happy Equation(数论+讨论)

Happy Equation

题意

​ 在$1\le x\le 2^p$内，问有多少个x满足$a^x\equiv x^a(modm)$

分析

​ 通过打表发现，当a为奇数的时候，结果全为1，那么只需要考虑当a为偶数时的情况。

​ 因为a为偶数，那么a一定可以表示为
$$a=2\ast e$$
那么
$$a^x=2^x\ast e^x$$
当$x\le p$时，因为$1\le p\le 30$，所以可以暴力枚举$1\le x\le p$有多少符合等式的。

当$x>p$时，$a^{x}modm=0$，此时只需要找$x^{a}modm=0$一共有多少符合的即可，又因为$x^{a}modm=0$,所以x一定不是奇数，x一定是偶数。所以x又可以表示为
$$\begin{gathered} x=2^f\ast g \\ {x}^a=2^{af}\ast g^a \end{gathered}$$
即可得到当$af\ge p$时
$$x^{a}modm=0$$
因此
$$f\ge \lceil \frac{p}{a}\rceil$$
所以就只需要求出在$[p,2^p]$次方之间$2^{\lceil \frac{p}{a}\rceil }$的倍数有多少个即可，即算一个前缀和

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
LL qp(LL a, LL b, LL mod) {
    LL res = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % mod) {
        if (b & 1) {
            res = res * a % mod;
        }
    }
    return res;
}
void Solve() {
    LL a, p;
    cin >> a >> p;
    if (a & 1) {
        cout << "1\n";
        return;
    }
    LL ans = 0;
    LL mod = 1 << p;
    for (int i = 1; i <= p; i++) {
        if (qp(a, i, mod) == qp(i, a, mod)) {
            ans++;
        }
    }
    LL q = (p + a - 1) / a;
    q = 1LL << q;
    ans = ans + (mod / q - p / q);
    cout << ans << '\n';
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        Solve();
    }
    return 0;
}