B-树

B-树

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B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生 误解。如 人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。而事实上是， B-tree就是指的B树。特此说明。 [1]  

中文名

B-树

属    于

数学概念

类    型

多路搜索树

特    性

关键字集合分布在整颗树中

目录

1. 1 定义
2. 2 概念
3. 3 特性

定义

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B-树是一种多路搜索树（并不一定是二叉的）

1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适用于外查找的 树，它是一种平衡的多叉树，称为B树（或B-树、B_树）。

一棵m阶B树(balanced tree of order m)是一棵平衡的m路搜索树。它或者是空树，或者是满足下列性质的树：

1、根结点至少有两个子女；

2、每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；

3、除根结点以外的所有结点（不包括叶子结点）的度数正好是关键字总数加1，故 内部子树个数 k 满足：┌m/2┐ <= k <= m ；

4、所有的叶子结点都位于同一层。

在B-树中，每个结点中关键字从小到大排列，并且当该结点的孩子是非叶子结点时，该k-1个关键字正好是k个孩子包含的关键字的值域的分划。

因为叶子结点不包含关键字，所以可以把叶子结点看成在树里实际上并不存在外部结点，指向这些外部结点的指针为空，叶子结点的数目正好等于树中所包含的关键字总个数加1。

B-树中的一个包含n个关键字，n+1个指针的结点的一般形式为： （n,P0,K1,P1,K2,P2,…,Kn,Pn）

其中，Ki为关键字，K1<K2<…<Kn, Pi 是指向包括Ki到Ki+1之间的关键字的子树的指针。 [2]  

概念

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M为树的 阶数，B-树或为空树，否则满足下列条件：

1. 定义任意非 叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

2. 根结点的儿子数为[2, M]；

3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个 关键字；（至少2个关键字,根 节点至少一个关键字）；

5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的 指针个数-1；

6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[m-1]，m<M+1；且K [i]< K[i+1] ；

7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[m]；其中P[1]指向 关键字小于K[1]的子树，P[m]指向关键字大于K[m-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

8.所有 叶子结点位于同一层；

如：（M=3）

M=3的B-树

B-树的搜索，从 根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行 二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子 指针为空，或已经是 叶子结点。

特性

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1. 关键字集合分布在整颗树中；

2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

3.搜索有可能在非 叶子结点结束；

4.其搜索性能 等价于在关键字全集内做一次 二分查找；

5.自动层次控制；

由于限制了除 根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：

其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；

所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有 B树平衡的问题；

由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟 节点合并.