Sparsest cut 稀疏割 Introduction

最新推荐文章于 2025-12-29 18:01:22 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-29 18:01:22 发布 · 626 阅读

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本文作为学习笔记，介绍了图论中的稀疏割概念。内容涵盖无向正权图的稀疏度定义，点对要求函数，以及特殊情况下如uniform sparsest cut和无向无权图的稀疏度计算。旨在填补优快云上关于稀疏割的介绍空白。

最近在学习图相关的知识，突然发现csdn上并没有sparsest cut 介绍，当作自己学习笔记也权作抛砖引玉，写一点这方面的introduction.

输入：

1. 图 $G=(V,E)$ 是一个无向正权图，假设权函数为 $c(\cdot)$ , 给定 $c(e) > 0$

2. $k$ 对点， $\{(s_1,t_1),(s_2,t_2),...(s_k,t_k)\}$ ，其中每对点有要求函数 $D(\cdot)$ 满足 $D_i = f(s_i,t_i)$

则对于任意割集 $S\subseteq V$ ，我们定义稀疏度为

$\Phi (S) = \frac{c(S,\bar{S})}{D(S,\bar{S})}$

其中

$D(S,\bar{S})= \sum_{\text{$s_i,t_i$ are separated by $S, \bar{S}$ }} D_ {i}$

$c(S,\bar{S})= \sum_{\text{$e$ crosses the cut $S, \bar{S}$ }} c(e)$

当 $S$ 为空集或者 $S=V$ 时，稀疏度为无限大，因为无法找到被分割的s-t对。

同样，当 $D$ 的输出固定为1时，我们称呼这种特殊情况为uniform sparsest cut（均匀稀疏割），我们的稀疏度变为

$\Phi (S) = \frac{c(S,\bar{S})}{|S||\bar{S}|}$

更为简化的场景是无向无权图，则稀疏度表示为

$\Phi (S) = \frac{\partial (S)}{|S||\bar{S}|}$

其中， $\partial(S)$ 指的是有多少边只有一个顶点在 $S$ 里。

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