NYOJ 317 兔子的烦恼(二）证明_有一只狼,从编号为0的山洞开始入洞,每隔m-1个洞,再次入洞抓兔子,现在问,兔子能否-优快云博客

本文详细解析了一道基础的数论问题，通过证明狼在走山洞过程中不存在重复路径，并计算了实际走过山洞的数量。运用了数学原理和同余定理，提供了清晰的解题步骤和代码实现。

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一道很基础的数论题,唉~~数学水平严重下降了....

证明1:如果n,m互质,则不存在逃生的山洞.

已知m为间隔 n为山洞个数

我们假设k为狼走的次数

则很容易知道 k*m%n 就是狼所走的洞

由于m和n互质,则狼想要回到0点,k的值最少为n

从第一步到在第一次回到0点之间,不会走重复的山洞

下面证明这一点,

假设中间存在相同的山洞

则 k1*m=a1*n+C

k2*m=a2*n+C

假设(n>=k1>k2,a1>=a2)

两式相减得(k1-k2)*m=(a1-a2)*n 这与k的值最少为n相矛盾

故不存在重复的山洞

因为狼走了k=n步,且不存在重复的山洞,很明显没有漏掉的山洞.

证明2:走过的山洞为n,m的最大公约数的倍数

由证明1 k*m%n就是狼所走的洞

下面就从 k*m%n入手假设g为最大公约数则m=g*t (t为一固定常数)

k*m%n=k*g*t%n 同余定理得 k*m%n=(k*t%n)*g

故为n,m的最大公约数的倍数

#include<cstdio>
int gcd(int n,int m)
{
return m?gcd(m,n%m):n;
}
int main()
{
   int m,n,g;
   while(~scanf("%d%d",&m,&n))
   {   g=gcd(m,n);
       if(g==1) {printf("NO\n");continue;}
       printf("%d",n-n/g);
       for(int i=1;i<=n;i++)
         if(i%g)printf(" %d",i);
       putchar('\n');
   }
}