树状数组小结

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单点修改&区间查询

最普通的树状数组
实现用 $l o w b i t$ 的优秀性质
原理很简单

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 500005
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

using namespace std;

ll a[MAXN],tr[MAXN];
ll n,m;

O3 inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
O3 inline ll lowbit(ll x)
{
    return x&(-x);
}
O3 inline void add(ll x,ll y)
{
    while (x<=n)tr[x]+=y,x+=lowbit(x);
}
O3 inline ll query(ll x)
{
    ll y=0;
    while (x)y+=tr[x],x-=lowbit(x);
    return y;
}
O3 inline ll ask(ll x,ll y)
{
    return query(y)-query(x-1);
}
O3 int main()
{
    //freopen("readin.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    fo(i,1,n)a[i]=read(),add(i,a[i]);
    while (m--)
    {
        ll z=read(),x=read(),y=read();
        if (z==1)add(x,y);
        else printf("%lld\n",ask(x,y));
    }
    return 0;
}

区间修改&单点查询

实现这个的思路比较巧妙
做一个差分，设 $b [i] = a [i] - a [i - 1]$ ，那么 $∑i=1nb[i]=a[i]\sum^n_{i=1}b[i]=a[i]$
那么对于一个区间的修改 $[x, y]$ 区间加 $k$ ，相当于 $x$ 位加 $k$ 、 $y + 1$ 位减 $k$
容易知道这是对的，在 $x$ 前没有影响，从 $x$ 开始才有贡献
用树状数组维护 $b$ 就好了

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 500005
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;++i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

ll a[MAXN],tr[MAXN];
ll n,m;

O3 inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
O3 inline ll lowbit(ll x)
{
    return x&(-x);
}
O3 inline void change(ll x,ll y)
{
    while (x<=n)tr[x]+=y,x+=lowbit(x);
}
O3 inline ll query(ll x)
{
    ll y=0;
    while (x)y+=tr[x],x-=lowbit(x);
    return y;
}
O3 int main()
{
    //freopen("readin.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    fo(i,1,n)a[i]=read(),change(i,a[i]-a[i-1]);
    while (m--)
    {
        ll z=read(),x,y;
        if (z==1)
        {
            x=read(),y=read(),z=read();
            change(x,z),change(y+1,-z);
        }
        else printf("%lld\n",query(read()));
    }
    return 0;
}

伪线段树树状数组

其实这个就是支持区间修改和区间查询的树状数组
对于一段区间查询 $[x, y]$ ，拆成 $[1, x - 1]$ 和 $[1, y]$ ，单独考虑 $[1, x]$ 的答案即可

那么 $ans=∑i=1xa[i]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[x]ans=\sum^x_{i=1}a[i]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[x]$
$= (b [1]) + (b [1] + b [2]) + (b [1] + b [2] + b [3]) + . . . + (b [1] + b [2] + b [3] . . . + b [x])$
$= b [1] * x + b [2] * (x - 1) + b [3] * (x - 2) + . . . + b [x]$
$= x (b [1] + b [2] + b [3] + . . . + b [x]) - (b [1] * 0 + b [2] * 1 + b [3] * 2 + . . . + b [x] * (x - 1))$

再设一个 $c$ 数组，使 $c [i] = b [i] * (i - 1)$
那么 $[1, x]$ 的和即为 $x * q u e r y (b, x) - q u e r y (c, x)$

code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define MAXN 500005
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;++i)
#define O3 __attribute__((optimize("-O3")))

ll a[MAXN],tr[MAXN],tr1[MAXN];
ll n,m;

O3 inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
O3 inline ll lowbit(ll x)
{
    return x&(-x);
}
O3 inline void change(ll *tr,ll x,ll y)
{
    while (x<=n)tr[x]+=y,x+=lowbit(x);
}
O3 inline ll query(ll *tr,ll x)
{
    ll y=0;
    while (x)y+=tr[x],x-=lowbit(x);
    return y;
}
O3 int main()
{
    //freopen("readin.txt","r",stdin);
    n=read(),m=read();
    fo(i,1,n)a[i]=read(),change(tr,i,a[i]-a[i-1]),change(tr1,i,(a[i]-a[i-1])*(i-1));
    while (m--)
    {
        ll z=read(),x,y;
        if (z==1)
        {
            x=read(),y=read(),z=read();
            change(tr,x,z),change(tr,y+1,-z);
            change(tr1,x,z*(x-1)),change(tr1,y+1,-z*y);
        }
        else x=read(),y=read(),
        printf("%lld\n",(y*query(tr,y)-(x-1)*query(tr,x-1))-(query(tr1,y)-query(tr1,x-1)));
    }
    return 0;
}