蓝桥杯-矩阵翻硬币

问题描述

　　小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

　　输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

　　输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

　　对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

题目理解：

假设n=2;m=3(1表示硬币正面朝上，0表示硬币反面朝上)

对所有硬币再进行（x，y）

初始：

1	1	1
1	1	1

（1，1）：

0	0	0
0	0	0

（1，2）：

0	1	0
0	1	0

（1，3）：

0	1	1
0	1	1

（2，1）：

0	1	1
1	0	0

（2，2）：

0	1	1
1	1	0

（2，3）：

0	1	1
1	1	1

所以结果显示为1；

初始想法：

对于每一对（x，y），遍历所有的i，j，如果满足i%x==0&&j%y==0就翻转一次，这样做对于小数据量可行，数据量大就不行了，存在的冗余：多次求解模运算，而且每一次（x，y）变化都要遍历整个（i，j）。

改进一：

重点是要求出翻奇数次的（i，j）的个数。要出现奇数次，找找翻硬币的规律：

当（i，j）为（1，1）只有（x，y）为（1，1）时才能翻转：

（1，1）----------------------------（1，1）

（1，2）----------------------------（1，1），（1，2）

（1，3）----------------------------（1，1），（1，3）

.....

据此可以看出（i，j）这一个硬币翻转的次数是 i 的约束个数 × j 的约束个数。只要乘积为奇数，统计这样的（i，j）个数，就是答案。

要知道（i，j）硬币的翻转次数就是求解i和j的约束个数。求解约束个数的方法可以采用质因子分解法来求解，函数如下：

int f(int x)
{
	int k,r;
	int m=x;
	k=1;
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		
		if(m%i==0)
		{
			r=1;
			while(m%i==0)
			{
				r++;
				m=m/i;
			}
			k=k*r;	
		}
	}
	return k;
}

接下来只要比较每一个（i，j）即可，仍然需要遍历一遍整个矩阵，而且对同一个数会重复求约束，对于题目中给的数据量仍然太大。

改进二：

什么时候乘积为奇数：奇数×奇数=奇数；所以只有i和j的约束个数同时为奇数才能满足情况。

问题转化为何时一个数的约数为奇数？很明显当这个数是一个完全平方数时，才存在约束个数为奇数，因为完全平方数存在两个约束相同Z=X*Y（X==Y），非完全平方数Z=X*Y（X!=Y）。

问题此时转化为求出矩阵中存在几个完全平方数？？

思考：1～N中有几个完全平方数，只要看N就行了，如果a^2<=N<b^2,则一定存在a个完全平方数；例如N=9，存在1^2，2^2，3^2三个完全平方数。所以平方数为floor(sqrt(N));

求解问题的思路转化为对n和m开方，结果为floor(sqrt(n))*floor(sqrt(m))；

编程细节：

由于n和m的数据规模非常大，需要采用字符串来求解，如何实现大整数的开方和相乘？？

1、大整数的开方

思路：从数字1～9从高位到低位对每一位进行尝试

例如对1111开方

开方后一定是两位数，由于sqrt(10000)>9;sqrt(9999)<100

（1）1×1×10^2<1111-->...--->4×4×10^2>1111------>最高位为3

（2）31×31<1111-->...--->34×34>1111------>开方结果为33

2、大整数相乘

直接看最后的代码即可

通过的代码：

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
string conver(string str,int n);
string sqr(string str);
string mul(string str1,string str2);
int cmp(string str1,string str2,int pos);
int main()
{
	string str1="";
	string str2="";
	cin>>str1>>str2;
	cout<<mul(sqr(str1),sqr(str2))<<endl;
	return 0;
}

string sqr(string str)
{
	int n=str.length();
	int len,j,k;
	string x="";
	string strans="";
	string y="";
	if(n%2==1)len=(n+1)/2;
	else len=n/2;
	for(int i=0;i<len;i++)
	{
		for(j=1;j<=9;j++)
		{
			x=strans;
			x+=j+'0';
			k=cmp(mul(x,x),str,2*(len-i-1));
			if(k>0)
			{
				strans+=j-1+'0'; break;
			}
			if(j==9)strans+='9';
		}	
	}
	return strans;
}

string mul(string str1,string str2)
{
	string z="";
	int n1=str1.length();
	int n2=str2.length();
	int i,j,len;
	string t1=conver(str1,n1);
	string t2=conver(str2,n2);
	int num[100000]={0};
	memset(num,0,sizeof(0));
	for(i=0;i<n1;i++)
	for(j=0;j<n2;j++)num[i+j]+=(t1[i]-'0')*(t2[j]-'0');
	for(i=n1*n2-1;i>=0;i--)
	if(num[i]!=0)break;
	for(j=0;j<=i+1;j++)
	{
		num[j+1]+=num[j]/10;
		num[j]=num[j]%10;
	}
	if(num[j-1]==0)len=i;
	else len=i+1;
	for(j=0;j<=len;j++)z+=num[len-j]+'0';
	return z;
}

string conver(string str,int n)
{
	string ans="";
	for(int i=n-1;i>=0;i--)	ans+=str[i];
	return ans;
}

int cmp(string str1,string str2,int pos)
{
	int n2=str2.length();
	int n1=str1.length();
	int i;
	if(n2==n1+pos)
	{
		for(i=0;i<n1;i++)
		{
			if(str1[i]>str2[i]) return 1;
			else if(str1[i]<str2[i])return-1;
		}
		if(i==n1-1)
		{
			if(pos==0)return 0;
			else return -1;
		}
	}
	if(n1+pos>n2)return 1;
	else return -1;
}