洛谷 P3225 [HNOI2012]矿场搭建

题面

边数N<=500的挖煤点，需要设置尽量少的逃生出口，使得某个煤矿倒塌后，其他挖煤点的工人仍然可以通过某条路径到达逃生出口，并给出逃生出口最少设置数量与方案数
多组数据

分析

倒塌一座后…这一点令人想到割点（割点的倒塌会增加连通块数量，产生隔断），所以本题中显然割点是比较重要的一种分析。

先用tarjan跑出割点，发现把出口安放到割点上不是最优的（割点的倒塌会使连通块增加+出口减少，不利）
所以就要分析除割点外的其他部分，如何安放出口。

不难想到，先把割点删去可以造成一系列无割联通块：

方案①：在每个这样的连通块内安放两个出口。
看似最优，其实有反例

如这种情况，无割图123是删去cut1，cut2得到的连通块，不难想到比方案1中更优的情形：无割图内不放出口，无割图2和3内各一个出口。
如果割点倒塌了一个这样仍能保证逃生
如果一个出口倒塌，其内的人可以通过割点走到另一个出口。
所以方案①不是最优

这样，就发现出口的安排和这种无割图的割点连接数有关。
无割图可以考虑成一种缩点，判断每一个无割图连接的割点数，不难发现：

方案②：
如果这个连通块内本无割点，则只需要安排2个出口，为保证即便一个倒塌，其他也能逃生，$C_n^2$种安排
如果一个无割图连接着一个割点，其内只需安排一个出口，n种安排
无割图连接2个及以上割点，不需安排出口

不难想到，已知割点后再一次dfs，处理出每一个块的size及割点连接数，用组合数学即可计算出种数

代码

#include "cstdlib"
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include<algorithm>
#include <string>
#include<vector>
using namespace std;
vector<int> G[510];//i为顶点，G[i]为从其延伸的边集合
int dfs_clock = 0;//时间戳
int pre[510];//每个节点被遍历到时的时间戳
int iscut[510];//记录这个点是不是割点
int low[510];// low[u]表示dfs树中u及其后代经过单线能连回的最早祖先的pre值
int dfs(int u, int fa)//处理u节点的bfs，其父为fa
{
	int lowu = pre[u] = ++dfs_clock;//给u打上编号
	int child = 0;//u的孩子数量
	int v, lowv;//u的某个邻居，这个邻居的low值
	for (int i = 0; i < G[u].size(); i++)
	{
		v = G[u][i];
		if (!pre[v])//v未被访问过，是子节点
		{
			child++;
			lowv = dfs(v, u);
			lowu = min(lowu, lowv);
			if (lowv >= pre[u])iscut[u] = 1;//u的子节点v中没有能连到比u的clock序更前的边，割点
		}
		else if (pre[v] < pre[u] && v != fa)//v已被访问过，且不是u的父亲邻居(u连出的这条边是反向边)
		{
			lowu = min(lowu, pre[v]);
		}
	}
	if (fa == 0 && child == 1)iscut[u] = 0;//根节点且只有一个子，这个根不是割点，2+个子节点则是
	low[u] = lowu;
	return lowu;
}
int id[510];//删去割点后，其余元素属于的连通块编号
int siz[510];//除去割点后，剩余连通块的元素个数
int cutnum[510];//上面这种连通块与多少割点相连
void chunk(int s,int num)//当前节点，当前节点所属连通块
{
	id[s] = num;
	siz[num]++;
	int cur;
	for (int i = 0; i < G[s].size(); i++)
	{
		cur = G[s][i];
		if (id[cur]!=num) {//这一次未被访问过
			if (iscut[cur]) { cutnum[num]++; id[cur] = num; }
			else chunk(cur, num);
		}
	}
}
int max(int &a, int &b, int &c)
{
	if (a > b)
	{
		if (a > c)return a;
		else return c;
	}
	else
	{
		if (b > c)return b;
		else return c;
	}
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n, m;//点数，边数
	int x, y;
	for (int o = 1;;o++) {
		n = 0;
		cin >> m;
		if (m == 0)break;
		for (int i = 0; i < m; i++)
		{
			cin >> x >> y;
			n = max(x, y, n);
			G[x].push_back(y);
			G[y].push_back(x);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if (!pre[i])dfs(i, 0);//有多个联通区域
		}
		//iscut[u]==1表示是割点
		int cnt = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if (iscut[i] == 0 && (!id[i])) { cnt++;chunk(i, cnt); }
		}
		long long ans = 1;
		int c = 0;//安放个数
		for (int i = 1; i <= cnt; i++)
		{
			if (cutnum[i] == 0) { ans *= siz[i] * (siz[i] - 1) / 2; c += 2; }//本身是个无割点连通块
			else if (cutnum[i] == 1) { ans *= siz[i]; c++; }//连接着一个割点的无割图
			else ans *= 1;//连接着>=2个割点的无割图
		}

		cout << "Case " << o << ": " << c << " " << ans<<endl;

		for (int i = 1; i <= n; i++)G[i].clear();
		memset(low, 0, 510 * sizeof(int));
		memset(pre, 0, 510 * sizeof(int));
		memset(iscut, 0, 510 * sizeof(int));
		memset(id, 0, 510 * sizeof(int));
		memset(siz, 0, 510 * sizeof(int));
		memset(cutnum, 0, 510 * sizeof(int));
		dfs_clock = 0;
		//初始化过程
	}
	return 0;
}