「POI2017」 Sabotaż

原创于 2024-03-22 15:40:04 发布 · 786 阅读

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#深度优先 #动态规划 #算法

文章讲述了如何使用动态规划和深度优先搜索解决树形问题，给定一棵树和染色规则，找到使染色节点不超过k个的最小染色比例。状态转移方程基于子树大小和染色条件计算每个节点的最小染色比例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

给定一棵大小为 $n$ 的树，树上有一个未知节点被染色。对于任意一个节点，若它的子树中被染色的比例超过实数 $x$ ，则它也被染色。给定整数 $k$ ，求出最小的 $x$ ，使得被染色节点最多不超过 $k$ 个。

分析

比较明显的树形 DP，可以在 DFS 里面求出每个节点的子树大小 $s i z$ 。

设 $f_i$ 表示第 $i$ 个节点的子树内最小的 $x$ 。

所以第 $u$ 个节点被染色，当且仅当存在被染色的孩子节点 $v$ ，使得 $f_v>f_u$ （当前节点的 $x$ 小于孩子节点）；或 $sizv÷(sizu−1)>fusiz_v\div(siz_u-1)>f_u$ （孩子结点的子树大小已经可以让当前节点染色）。

可得状态转移方程为 $fu=max⁡(fu,min⁡(fv,sizv÷(sizu−1)))f_u=\max(f_u,\min(f_v,siz_v\div(siz_u-1)))$ 。

整个过程在 DFS 里实现，每个节点最多被遍历到一次，总时间复杂度 $O (n)$ 。

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(c<48||c>57){if(c==45)f=0;c=getchar();}while(c>47&&c<58)x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return f?x:-x;}
const ll maxn=5e5+5;
ll n,k,siz[maxn];
vector<ll>son[maxn];
double ans,f[maxn];
inline void dfs(ll u,ll pre){
    siz[u]=1;
    for(auto v:son[u]){
        if(v==pre)continue;
        dfs(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
    }
    if(siz[u]==1){f[u]=1;return;}
    for(auto v:son[u]){
        if(v==pre)continue;
        f[u]=max(f[u],min(f[v],siz[v]*1.0/(siz[u]-1)));
    }
    if(siz[u]>k)ans=max(ans,f[u]);
}
signed main(){
    n=read(),k=read();
    for(ll i=2;i<=n;++i){
        ll u=read();
        son[u].push_back(i);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%.8lf",ans);
    return 0;
}