51nod 1228 序列求和

http://www.elijahqi.win/archives/3269
T(n) = n^k，S(n) = T(1) + T(2) + …… T(n)。给出n和k，求S(n)。

例如k = 2，n = 5，S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。
由于结果很大，输出S(n) Mod 1000000007的结果即可。
Input 第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 5000)
第2 - T + 1行：每行2个数，N, K中间用空格分割。(1 <= N <= 10^18, 1 <= K <= 2000) Output 共T行，对应S(n) Mod 1000000007的结果。 Sample Input

3
5 3
4 2
4 1
Sample Output

225
30
10
首先k^2的做法可以考虑用二项式定理展开 然后递归做即可
伯努利数公式
$B[0]=1$
$\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n+1}^{k}\times B[k]=0$
考虑如何用伯努利数算自然数幂和
有公式
$\sum\limits_{i=1}^{n}i^k= \frac{1}{k+1}\sum\limits_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^{i}\times B[k+1-i] \times(n+1)^i$
预处理之后可以o(k) 解决

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=gc();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
const int mod=1000000007;
const int N=2200;
inline int inc(int x,int v){return x+v>=mod?x+v-mod:x+v;}
int T,inv[N],c[N][N],k,b[N];ll n; 
int main(){
    freopen("1228.in","r",stdin);
    T=read();inv[1]=1;int sum=0;
    for (int i=2;i<=2001;++i) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for (int i=0;i<=2001;++i) c[i][0]=1;b[0]=1;
    for (int i=1;i<=2001;++i)
        for (int j=1;j<=i;++j) c[i][j]=inc(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);
    for (int i=1;i<=2000;++i){sum=0;
        for (int j=0;j<i;++j) sum=inc(sum,(ll)c[i+1][j]*b[j]%mod);
        b[i]=(ll)-inv[i+1]*sum%mod;b[i]=(b[i]+mod)%mod;
    }
    while(T--){
        n=read();k=read();int mul1=(n+1)%mod;ll mul=mul1;ll ans=0;
        for (int i=1;i<=k+1;++i){
            ans=inc(ans,(ll)c[k+1][i]*b[k+1-i]%mod*mul%mod);mul=mul*mul1%mod;
        }ans=inv[k+1]*ans%mod;printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}