luogu 1004 方格取数

最新推荐文章于 2025-06-09 17:28:56 发布

elijahqi

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分类专栏：动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/elijahqi/article/details/79632062

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本文探讨了一个特定的算法问题：在一个N*N的方格图中找到两条从起点A到终点B的路径，使路径上的数字之和最大。通过四重循环枚举所有可能的路径组合，并使用动态规划的方法来优化解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.elijahqi.win/archives/430
题目描述
设有N*N的方格图(N<=9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放

人数字0。如下图所示（见样例）：

A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
. B
某人从图的左上角的A点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B

点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入输出格式
输入格式：

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个

表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

输出格式：

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

输入输出样例
输入样例#1：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例#1：

67
由于这一题数据范围较小（N<=9），因此我们可以采用四重循环枚举每一种行走方式。我们可以采取这样的思维方式：题目中说“此人从A点到B点共走两次”，可以当成两个人相对而行，这样会方便一些。我们枚举第一个人的坐标（x1，y1）和第二个人的坐标（x2，y2）。因为题目已经说明只能向下或向右走，因此第一个人的方向为 [ x1-1 ] [ y1] 或 [ x1] [ y1-1]，第二个人的方向为 [ x1-1 ] [ y1] 或 [ x1] [ y1-1]。
我们设f[x1][y1][x2][y2]表示第一个人走到x1，y1点，第二个人走到x2，y2点的最优解。
动态转移方程为 ###f[x1][y1][x2][y2] =max(f[x1][y1][x2][y2],f[x1-1][y1][x2-1][y2],f[x1-1][y1][x2][y2-1],f[x1][y1-1][x2-1][y2],f[x1][y1-1][x2][y2-1]) ###+ G[x1][y1] 若 x1 != x2 || y1 != y2，还应加上G[x2][y2]。即必须累加当前走过的路径上的数字，为防止两个人同时走到一个点而累加两次产生错误答案，我们判定一下。最优解：f[n][n][n][n]

#include<cstdio>
#define N 10
int f[N][N][N][N],a[N][N],n,x,y,d;
inline int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int main(){
    freopen("1004.in","r",stdin);
    freopen("1004.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    while(1) {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&d);if (x==0)break;
        a[x][y]=d;
    }
    for (int i=1;i<=n;++i){
        for (int j=1;j<=n;++j){
            for (int k=1;k<=n;++k){
                for (int l=1;l<=n;++l){
                //  if ((i<n||j<n)&&i<=k&&j<=l) continue;
                    int tmp=0;
                    tmp=max(tmp,f[i-1][j][k-1][l]);
                    tmp=max(tmp,f[i-1][j][k][l-1]);
                    tmp=max(tmp,f[i][j-1][k-1][l]);
                    tmp=max(tmp,f[i][j-1][k][l-1]);
                    if (i==k&&j==l) f[i][j][k][l]=tmp+a[i][j];else f[i][j][k][l]=tmp+a[i][j]+a[k][l];
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",f[n][n][n][n]);
    return 0;
}