hdu 2516 取石子游戏 (Fibonacci博弈)

最新推荐文章于 2020-07-29 14:58:22 发布

elbadaernu

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分类专栏：博弈论

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本文探讨了基于Fibonacci数列的一种博弈策略，详细解释了如何通过判断石子数量来确定先手是否能赢得游戏，并给出了实现该策略的代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem Description
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出”Second win”.先取者胜输出”First win”.

Input
输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

Output
先取者负输出”Second win”. 先取者胜输出”First win”.
参看Sample Output.

Sample Input
2
13
10000
0

Sample Output
Second win
Second win
First win

思路：Fibonacci博弈。
当n为Fibonacci数时，先手必败。即存在先手的必败态当且仅当石头个数为Fibonacci数。

证明：根据“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。如n=83 = 55+21+5+2，我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，同理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。

反证：如果n是Fibonacci数，如n=89：记先手一开始所取的石子数为y

（1）若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34。

（2）y<34时剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，后手只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
int f[105]; 
int main()
{
    f[1]=f[2]=1;
    for(int i=3;i<105;i++)
    {
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
    }
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        if(n==0) return 0;
        int flag=0;
        for(int i=1;i<105;i++)
        {
            if(n==f[i])
            {
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag)
        cout<<"Second win\n";
        else 
        cout<<"First win\n";
    }
    return 0;
}