占优关系与最优反应

占优关系

弱占优与严格占优

定义：

• 对所有的$z\in \Theta ,u_i(y_i,z_{-i})\ge u_i(x_i,z_{-i})$，并且对于某些$z\in \Theta$，严格不等式成立，那么$y_i\in {\Delta }_i$弱占优$x_i\in {\Delta }_i$
• 对所有的$z\in \Theta ,u_i(y_i,z_{-i})>u_i(x_i,z_{-i})$,则有$y_i\in {\Delta }_i$严格占优$x_i\in {\Delta }_i$

简言之，博弈方1采取混合策略x时，其收益不小于采取混合策略y时的收益，则称为策略x弱占优y；博弈方1采取混合策略x时，其收益大于采取混合策略y时的收益，则称为策略x严格占优y；

重复剔除严格占优

这是反复剔除严格被占优策略的过程，比如：
$$A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\\ 1& 1\end{array}\right]$$
$x_1=e_1^3\in {\Delta }_1,y_1=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\in {\Delta }_1$,计算$u_1(x_1,z_2)=1,u_1(y_1,z_2)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot (1-x)=\frac{3}{2}$，那么对所有的$z_2\in {\Delta }_2$,有$u_1(x_1,z_2)<u_2(y_1,z_2)$
即可剔除策略3

严格占优可解

$G=(I,S,\pi )$,令$S^D\subset S$为非重复剔除严格被占优策略纯策略组合的子集，若该集合为单点集合则称该博弈严格占优可解。

最优反应

纯策略最优反应

定义：βi(y)={h∈Si:ui(eih,y−i)≥ui(eik,y−i),∀k∈Si}\beta_i(y)=\{h\in S_i:u_i(e_i^h,y_{-i})\ge u_i(e_i^k,y_{-i}),\forall k\in S_i\}βi​(y)={h∈Si​:ui​(eih​,y−i​)≥ui​(eik​,y−i​),∀k∈Si​}

意思就是：对其他博弈方的每个策略组合$y\in \Theta$,博弈方i均可以找出一个收益最高的纯策略$s_i\in S,s_i$的集合即为博弈方i的纯策略最优反应对应$\beta :\Theta \to S_i$

$u_i(x_i,y_{-i})={\Sigma }_{k=1}^{m_i}(e_i^k,y_{-i})x_{ik}\le {\Sigma }_{k=1}^{m_i}(e_i^h,y_{-i})x_{ik}=u_i(e_i^h,y_{-i})$

即：针对某个混合策略$y\in \Delta$博弈方i采取混合策略的收益小于纯策略最优反应带来的收益。

混合策略最优反应

混合策略$x_i$带来的收益最高。将博弈方i的混合策略最优反应对应${\tilde{\beta }}_i：\Theta \to {\Delta }_i$
β~i(y)={xi∈Δi:ui(xi,y−i)≥ui(zi,y−i),∀zi∈Δi}={xi∈Δi:xih=0,∀h∉βi(y)}={xi∈Δi:C(xi)⊂βi(y)} \widetilde{\beta}_i(y)=\{x_i\in\Delta_i:u_i(x_i,y_{-i})\ge u_i(z_i,y_{-i}),\forall z_i\in\Delta_i\}\\ =\{x_i\in\Delta_i:x_{ih}=0,\forall h\notin\beta_i(y)\}\\ =\{x_i\in\Delta_i:C(x_i)\subset\beta_i(y)\} β​i​(y)={xi​∈Δi​:ui​(xi​,y−i​)≥ui​(zi​,y−i​),∀zi​∈Δi​}={xi​∈Δi​:xih​=0,∀h∈/βi​(y)}={xi​∈Δi​:C(xi​)⊂βi​(y)}
${\tilde{\beta }}_i(y)$为针对混合策略y的最优反应

图中也就是说，会有不同的混合策略对应着相同的最优反应。

组合混合策略最优反应对应$\beta :\Theta \to \Theta$ 被定义为$\tilde{\beta }(y)=X_{i\in I}{\tilde{\beta }}_i(y)$

也就是说，混合策略最优反应$\tilde{\beta }(y)$是包含各博弈方最优反应笛卡尔积的空间。
注：本文参考《演化博弈论》乔根·W·布威尔