划界与分类的艺术：支持向量机（SVM）的深度解析

划界与分类的艺术：支持向量机（SVM）的深度解析

1. 引言

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是机器学习中的经典算法，以其强大的分类和回归能力在众多领域得到了广泛应用。SVM通过找到最优超平面来分隔数据，从而实现高效的分类。然而，它在高维数据中的复杂性和核方法的使用也带来了挑战。本文将深入探讨SVM的工作原理、实现技巧、适用场景及其局限性。

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2. SVM的数学基础与直观理解

SVM的核心思想是找到一个超平面（Hyperplane），使得不同类别的样本尽可能地被正确划分，并最大化两类之间的间隔（Margin）。

• 支持向量：位于边界上并决定超平面的点。
• 硬间隔（Hard Margin）与软间隔（Soft Margin）：硬间隔严格要求数据可线性分割，而软间隔允许少量误分类以提升模型的鲁棒性。

优化目标：
[ \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} ||\mathbf{w}||^2 \quad \text{subject to} \quad y_i(\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1 ]

直观理解：
SVM会在数据空间中找到一条“最宽”的分割线，并将其两侧的样本尽量远离超平面。

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3. 核函数：解决非线性问题的利器

现实世界中的数据往往是非线性可分的。这时，SVM通过**核函数（Kernel Function）**将数据映射到高维空间，使其在新空间中线性可分。

常见的核函数：

• 线性核（Linear Kernel）：适用于线性可分数据。
• 多项式核（Polynomial Kernel）：用于捕捉数据之间的多项式关系。
• 径向基核（RBF Kernel）：适合处理复杂的非线性数据。
• Sigmoid核：常用于神经网络。

代码示例：不同核的SVM实现

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC

# 加载数据集
iris = datasets.load_iris()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split