损失函数（目标函数）

损失函数（目标函数）是用来衡量模型的预测值与实际值之间差异的函数。对于线性回归问题，最常用的损失函数是平方误差损失函数，也称为均方误差（Mean Squared Error, MSE）。

平方误差损失函数的形式是：
$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^2$$

这个损失函数的来源是最小二乘法（Least Squares Method），其目标是最小化预测误差的平方和。下面是这个损失函数的推导过程：

1. 定义误差项：
   首先，我们定义每个数据点的误差项$e^{(i)}$为模型的预测值与实际值之间的差异，即：$$e^{(i)}=y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)})$$其中，$h_{\theta }(x^{(i)})$是由参数$\theta$决定的模型对第$i$个观测值的预测。
2. 平方误差：
   然后，我们计算每个数据点的误差的平方，这是为了处理误差的正负号，使得过小的误差不会被忽略，同时过大的误差会受到更多的惩罚：$$(e^{(i)}{)}^2=(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^2$$
3. 求和：
   我们对所有训练数据的平方误差求和，以获得模型在整个训练集上误差的总和：$$\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^2$$
4. 均值：
   为了使得损失函数不受样本数量$m$的影响，我们取平方误差的均值，即除以$m$：$$\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^2$$
5. 乘以 1/2：
   最后，我们常常在损失函数前面乘以$\frac{1}{2}$，这样做的主要原因是在对损失函数求导时，这个系数可以正好抵消掉平方项前的 2，简化后续的求导计算：$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}){)}^2$$

在实际的线性回归模型训练中，我们通过最小化这个损失函数来找到最优的参数$\theta$，使得模型的预测值尽可能地接近实际值，这个过程通常是通过梯度下降来完成的。