27、热传导问题的求解与应用

热传导问题的求解与应用

1. 边界值问题

在解决热传导问题时，我们常常会遇到边界值问题。这类问题需要先求解微分方程，再利用已知条件确定任意常数。与初始条件不同，边界条件是应用在区域的两个不同边界上。

1.1 典型问题

• 建筑墙体的热损失 ：通过求解微分方程得到墙体内部任意点的平衡温度，再利用傅里叶定律计算墙体的热通量。
• 水管绝缘套的热损失 ：与墙体热损失问题类似，但涉及径向热流。
• 计算机芯片的散热 ：例如通过安装散热片来冷却计算机芯片，类似的还有摩托车发动机的散热。

1.2 边界条件

以二阶微分方程 $\frac{d^2U}{dx^2} - 4U = 0$ 为例，由于该方程是线性且系数为常数，我们设解的形式为 $U(x) = e^{\lambda x}$，代入方程可得 $\lambda^2 - 4 = 0$，解得 $\lambda = 2$ 或 $\lambda = -2$，则通解为 $U(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数，需要通过边界条件来确定。

边界条件通常应用在区域的边界上，例如区域为 $0 \leq x \leq 1$ 时，边界条件可以是 $U(0) = 0$，$U(1) = 3$；也可以涉及导数，如 $U(0) = 1$，$U’(1) = 0$。

1.3 应用边界条件

应用边界条件的过程与应用初始条件类似，