21、局部迭代线性化方法：原理、建模与收敛性分析

局部迭代线性化方法：原理、建模与收敛性分析

1. 局部迭代线性化方法概述

许多科学和技术动态过程可以通过微分方程进行解析建模，其一般形式为：
[
\frac{\partial^n y}{\partial t^n} = F\left(u, \frac{\partial u}{\partial t}, \cdots, \frac{\partial^m u}{\partial t^m}, y, \frac{\partial y}{\partial t}, \cdots, \frac{\partial^{n - 1} y}{\partial t^{n - 1}}\right)
]
其中，输入信号 (u = u(t)) 是已知的独立变量，输出信号 (y = y(t)) 是未知的因变量，方程右边的函数是连续可微的。在实际情况中，初始条件通常是已知的，并且满足 (n \geq m) 且 (n \geq 1)。

为了对上述方程进行数值积分，我们将被积函数展开为泰勒级数：
[
W(t) = W(t_k + h) = W_k(h) + \sum_{q = 0}^{\infty} \frac{h^q}{q!} \left(\frac{\partial^q W}{\partial t^q}\right)_k
]
其中，(t_k = k \cdot \Delta t) 表示序列 (k) 处的枢轴时刻，(\Delta t = 2 \cdot dt) 是足够小的积分步长，下标 (k) 用于指定函数在 (t_k) 时刻的值。

对上述泰勒级数进行积分，得到：
[
\int_{t_k - dt}^{t_k + dt}