回溯法

回溯法

    回 溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个 候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的 所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前 试探。

    回溯法的一般流程和技术

    在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：

    在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

    【问题】 组合问题

    问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。

    采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

    (1) a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；

    (2) a[i]-i<=n-r+1。

    按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：

    首 先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合 改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因 a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]， 这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。 按上述思想写成程序如下：

    【程序】

# define MAXN 100

int a[MAXN];

void comb(int m,int r)

{ int i,j;

  i=0;

  a[i]=1;

  do {

       if (a[i]-i<=m-r+1

       { if (i==r-1)

         { for (j=0;j<r;j++)  printf(“%4d”,a[j]);

           printf(“/n”);

          }

         a[i]++;

         continue;

        }

       else

       { if (i==0) return;

         a[--i]++;

        }

       } while (1)

  }

main()

{ comb(5,3);

  }

    【问题】 填字游戏

    问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

    可 用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前 方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的 填入的整数，寻找下一个解。

    为 找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要 求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都 不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。

    回溯法找一个解的算法：

{ int m=0,ok=1;

  int n=8;

  do { if (ok) 扩展;

       else 调整;

       ok=检查前m个整数填放的合理性;

      } while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))

  if (m!=0) 输出解;

  else 输出无解报告;

  }

    如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。

相应的算法如下：

    回溯法找全部解的算法：

{ int m=0,ok=1;

  int n=8;

  do { if (ok)

       { if (m==n)

         { 输出解;

           调整;

          }

         else 扩展;

        }

       else 调整;

       ok=检查前m个整数填放的合理性;

      } while (m!=0);

  }

    为 了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺 序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。 将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。

    【程序】

# include <stdio.h>

# define N 12

void write(int a[ ])

{ int i,j;

  for (i=0;i<3;i++)

  { for (j=0;j<3;j++) printf(“%3d”,a[3*i+j]);

    printf(“/n”);

   }

  scanf(“%*c”);

  }

 

int b[N+1];

int a[10];

int isprime(int m)

{ int i;

  int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};

  if (m==1||m%2=0) return 0;

  for (i=0;primes[i]>0;i++)

  if (m==primes[i]) return 1;

  for (i=3;i*i<=m;)

  { if (m%i==0) return 0;

    i+=2;

   }

  return 1;

  }

 

int checkmatrix[][3]={ {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},

{2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

int selectnum(int start)

{ int j;

  for (j=start;j<=N;j++)

  if (b[j]) return j;

  return 0;

  }

 

int check(int pos)

{ int i,j;

  if (pos<0) return 0;

  for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)

      if (!isprime(a[pos]+a[j]) return 0;

  return 1;

  }

 

int extend(int pos)

{ a[++pos]=selectnum(1);

  b[a][pos]]=0;

  return pos;

  }

 

int change(int pos)

{ int j;

  while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)

  b[a[pos--]]=1;

  if (pos<0) return –1;

  b[a[pos]]=1;

  a[pos]=j;

  b[j]=0;

  return pos;

  }

 

void find()

{ int ok=0,pos=0;

  a[pos]=1;

  b[a[pos]]=0;

  do { if (ok)

          if (pos==8)

          { write(a);

            pos=change(pos);

           }

          else

            pos=extend(pos);

       else

          pos=change(pos);

       ok=check(pos);

      } while (pos>=0)

  }

 

void main()

{ int i;

  for (i=1;i<=N;i++) b[i]=1;

  find();

  }