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简单来说，奇异值分解是将一个任意实数或复数矩阵分解为三个特定矩阵乘积的方法。对于一个m×nm \times nm×n的矩阵AAAAUΣVT对于实数矩阵A = U \Sigma V^T \quad (\text{对于实数矩阵})AUΣVT对于实数矩阵AUΣVH对于复数矩阵，VH是V的共轭转置A = U \Sigma V^H \quad (\text{对于复数矩阵，} V^H \text{ 是 } V \text{ 的共轭转置})AUΣ。

设有一个多元数据点x⃗x1x2xNTxx1​x2​...xN​T，和一个数据集。这个数据集的均值向量为μ⃗μ1μ2μNTμ​μ1​μ2​...μN​T，协方差矩阵为Σ\SigmaΣ。点x⃗\vec{x}x到均值向量μ⃗\vec{\mu}μ​的马哈拉诺比斯距离DMD_MDM​DMx⃗x⃗−μ⃗TΣ−1x⃗−μ⃗DM​xx−μ​TΣ−1。

协方差矩阵就是一个将所有变量的方差和两两之间的协方差整合在一个矩阵中的数学工具。假设我们有三组数据：变量XXX（例如身高）、变量YYY（例如体重）、变量ZZZ（例如年龄）。它们的协方差矩阵Σ\SigmaΣΣCovXXCovXYCovXZCovYXCovYYCovYZCovZXCovZYCovZZΣ​CovXXCovYXCovZX​CovXYCovYYCovZY​CovXZCovY。

流形是局部类似欧氏空间但全局结构可能复杂的数学对象。其核心思想在于：任何复杂形状在足够小的区域内都呈现平坦性，如地球表面局部看似平面。数学上，n维拓扑流形由多个同胚于Rⁿ开子集的坐标卡拼接而成，微分流形则进一步要求坐标变换光滑。流形理论为描述曲线曲面、相空间等提供了统一框架，支持将微积分推广到弯曲空间，在物理学（如广义相对论）、工程学、机器学习等领域有重要应用。关键部件包括坐标卡、图册和转移函数，它们共同实现了"局部简单、全局复杂"的研究范式。