算法稳定性理论(algorithmic stability theory)与泛化误差(generalization error)

在衡量机器学习模型的效用（比如 优化误差、泛化误差 等，我们在这里把这些东西统称为“效用”）的时候，优化和泛化理论 是很重要的工具，用来分析差分隐私模型的各种风险界（像 population risk 和 empirical risk)。

其中，在分析泛化误差的时候，算法稳定性理论，algorithmic stability theory 在近几年很受研究者关注，因为它是 算法相关 的，和传统复杂度理论、搜索空间那一套有点不太一样。

本文基于 Bousquet 2002年发表于 JMLR 上的文章 Stability and Generalization 对一些 稳定性定义 以及 它们与泛化误差之间的关系 进行介绍，构建一个稳定性理论基本框架。

本文试图对稳定性理论进行扫盲式科普，因此不对证明细节进行关注，有兴趣的朋友们可以参考原论文（在网上应该很容易就能找到，如果有朋友找不到还有兴趣的话可以私信我把文章发过去），也欢迎大家一起讨论。

【一】背景

在介绍各种算法稳定性指标之前，我们首先大概了解一下稳定性究竟是个什么样的东西。

算法稳定性实质上是一种 敏感度（sensitivity），它表征了输入的变化会在多大程度上导致系统输出的变化。
举个例子，假设损失函数在参数 $\theta ,{\theta }^{\prime }$上的值分别为 $\ell (\theta ),\ell ({\theta }^{\prime })$，那么就可以（粗浅地）定义其敏感度为$|\ell (\theta )-\ell ({\theta }^{\prime })|$，这个值表征了 输入对损失函数值的影响（在这里我们只是举个例子，更细致的定义我们会在后文进行介绍）。

有了这个东西我们就可以发现，算法稳定性（敏感度）这个东西是与算法相关的，因为 $\theta ,{\theta }^{\prime }$ 可以看作算法输出的模型参数。
这就是稳定性理论与传统的复杂度理论不同的地方，复杂度理论关注整个搜索空间（函数空间），这个空间可能非常大，会导致求解出来的泛化误差同样很大。

接下来，我们面临的一个问题就是，对于一个算法，如何定义 $\theta$ 和 ${\theta }^{\prime }$。

【二】基本定义

首先定义样本规模为 $m$ 的训练数据集 $S$，其中的数据样本 $z_i=(x_i,y_i)$ 独立同分布采样于分布 $D$：

然后定义 移除和置换 数据点 $z_i$ 的数据集：

其中 $z_i^{\prime }$ 也是从分布 $D$ 中采样并与 $S$ 无关。

此外，为了度量算法的性能，定义如下指标：

期望误差（也就是我们平时所说的 population risk）：
$$R(A,S)$$