3、图的秘密共享方案信息率研究

图的秘密共享方案信息率研究

1. 图相关基本定义与符号

在图的研究中，我们有一系列重要的定义和符号。对于图 (G)，设 (V(G)) 表示图 (G) 的顶点集，(E(G)) 表示图 (G) 的边集。对于顶点 (v \in V(G))，有以下几个重要的集合定义：
- (Inc(v))：表示与顶点 (v) 关联的边的集合，即 (Inc(v) = {uv : uv \in E(G)})。
- (Adj(v))：表示与顶点 (v) 相邻的顶点的集合，即 (Adj(v) = {u \in V(G) : uv \in E(G)})。
- (degree - one(v))：表示与顶点 (v) 相邻且度数为 1 的顶点的集合，即 (degree - one(v) = {u \in Adj(v) : |Inc(u)| = 1})。

2. 特定图的信息率定理

• 定理 4.7 ：若 (n \geq 2)，则 (\rho^*(C_{2n + 1}) = \frac{2n + 1}{3n + 2})。
  • 证明思路 ：首先枚举 (C_{2n + 1}) 的最小 CMCs（完全多部覆盖）。将顶点设为 (x_1, x_2, \cdots, x_{2n + 1})，并对索引进行模 ((2n + 1)) 的算术运算。对于 (0 \leq j \leq 2n)，通过对 (\Pi_0) 的索引“加” (j) 并模 ((2n + 1)) 约简到区间 ([1, 2, \cdots, 2n + 1]) 来定义 (\Pi_j)，则 (\Pi_j)（(0 \leq j \leq 2n)）是 (2n + 1) 个最小 CMCs。得到一个 ((2n + 1) \times (2n + 1)) 的矩阵 (R_{jv})，其中 (R_{jv} = 1) 当且仅当 (v - j) 模 ((2n + 1)) 为奇数。当 (a_1 = \cdots = a_{2n + 1} = \frac{1}{h + 1}) 时，可得到 (O^ (C_{2n + 1})) 的最优解，此时 (T = \frac{3n + 2}{2n + 1}) 且 (\rho^ (C_{2n + 1}) = \frac{2n + 1}{3n + 2})。在应用多个 CMC 构造时，每个 (\Pi_j) 取一个副本。

3. 树的信息率

• 树的星分解算法 ：可以使用星分解来获得树的信息率。以下是相关算法：
  • Covering(G) ：
    1. 设 (S \in V(G))。
    2. (\Pi \leftarrow \varnothing)。
    3. 调用 (Cover(S))。
    4. 输出星分解 (\Pi)。
  • Cover(X) ：
    1. (B \leftarrow {Y \in Adj(X) : |Inc(Y)| = 1})。
    2. (E(G) \leftarrow E(G) - Inc(X))。
    3. (V(G) \leftarrow V(G) - {X})。
    4. 对于所有 (x’ \in Adj(X) - B)，调用 (Cover(x’))。

该算法总是能找到图 (G) 的完全多部覆盖。如果 (G) 是无环图（树），则每个顶点最多属于覆盖的两个不同连通子图，如下述引理所示：
- 引理 4.8 ：设 (\Pi) 是通过对树 (G) 应用 (Covering) 得到的完全多部覆盖，则每个顶点 (X \in V(G)) 最多属于 (\Pi) 中的两个不同子图 (C’, W \in \Pi)。
- 证明思路 ：若 (|Inc(X)| = 1) 且 ((X, Y) \in E(G)) 且 (|Inc(Y)| > 1)，则对 (Y) 调用 (Cover)。顶点 (Y) 属于两个连通子图，且边集为 (E(G’) = E(G) - Inc(X))、顶点集为 (V(G’) = V(G) - (B \cup {X})) 的图 (G’) 仍然连通。由于 (G) 是树，若 (|Inc(x’)| > 1) 则图是不连通的。新图的所有连通分量都是树，且对每个 (Y \in Adj(X) - B) 调用 (Cover)。因为每个 (Y \in Adj(X) - B) 属于 (G) 的不同连通分量，所以每个 (Y) 最多属于 (\Pi) 中的两个连通子图。
- 推论 4.9 ：对于任何树，存在信息率 (\rho \geq \frac{1}{2}) 的秘密共享方案。只有当 (G) 本身是星图且 (X) 被选为 (G) 中度数最大的顶点时，(Covering) 给出的秘密共享方案的信息率才会大于 (\frac{1}{2})。

4. 最优平均信息率

• 相关定义 ：
  • 用 (PS(G, \rho, q)) 表示具有访问结构 (cl(E(G))) 和平均信息率的完美秘密共享方案，对于一组 (q) 个密钥。
  • 对于正整数 (q) 和图 (G)，定义 (F(G, q) = \max{\rho : \exists \mathcal{S} = (G, \rho, q_0), q_0 \leq q})，然后定义 (F^*(G) = \lim_{q \to \infty} F(G, q))，该极限存在且至多为 1。
• 引理 5.1 ：设 (G) 是具有 (n) 个顶点的连通图。若 (G) 是完全多部图，则 (F^ (G) = 1)；否则 (F^ (G) \leq \frac{n}{n + 1})。
  • 证明思路 ：若 (G) 是完全多部图，根据定理 2.2 存在理想方案，该方案的平均信息率等于 1。若 (G) 不是完全多部图，则根据定理 4.2 和定理 2.6，存在 (V(G)) 中的两个顶点 (X) 和 (Y) 且 (XY \in E(G))，使得 (\log s_X + \log s_Y \geq 3\log q)。因此 (\sum_{x \in V(G)} \log s_x \geq (n + 1)\log q)，所以平均信息率不大于 (\frac{n}{n + 1})。

5. 线性规划问题

• 基础子图定义 ：对于图 (G)，定义子图 (G_1) 如下：(xy \in E(G_1)) 当且仅当存在顶点 (w, z \in V(G)) 使得 (G[w, x, y, z] = {wx, xy, yz}) 或 (G[w, x, y, z] = {wz, zy, yz, zz})。取 (V(G_1)) 为 (V(G)) 中与 (E(G_1)) 中至少一条边关联的所有顶点（即从 (G_1) 中删除所有孤立顶点），称 (G_1) 为 (G) 的基础。例如，路径 (P_4)（边为 ({AB}, {BC}, {CD}, {DE})）的基础由两条边 ({BC}, {CD}) 组成。

• 线性规划问题 (d(G)) ：若 (xy) 是图 (G) 的基础中的一条边，则对于任何具有访问结构 (cl(E(G))) 的秘密共享方案，根据定理 2.6 有 (\log s_x + \log s_y \geq 3\log q)。考虑以下线性规划问题 (d(G))：

  • 目标：最小化 (T)。
  • 约束条件：
    • (a_j \geq 0)，(1 \leq j \leq |V(G_1)|)。
    • 对于基础 (G_1) 中的每条边 (vw)，(a_v + a_w \geq 1)。

• 定理 5.2 ：设 (G) 是具有基础 (G_1) 的图，设 (C^*) 是问题 (d(G)) 的最优解，则平均信息率有上界。

  • 证明思路 ：考虑任何实现访问结构 (cl(E(G))) 的秘密共享方案。对于每个顶点 (v \in V(G))，定义 (a_v = \frac{\log s_v}{\log q})。若 (vw) 是基础 (G_1) 的一条边，根据定理 2.6 有 (\log s_v + \log s_w \geq 3\log q)，即 (a_v + a_w \geq 1)。对于任何 (v \in V(G))，有 (s_v \geq q)，所以 (a_v \geq 0)。因此，上述定义的 (a_v) 是问题 (d(G)) 的可行解。由此可得平均信息率的上界。

6. 顶点覆盖与秘密共享方案

• 方案构造算法 ：从定理 3.1 可知，存在图 (G) 的秘密共享方案，其平均信息率与顶点覆盖有关。若使用星分解构造方案，设 (W) 为星的中心集，则 (W) 必须是 (G) 的顶点覆盖。反之，若 (W) 是 (G) 的顶点覆盖，则可以用它构造 (G) 的星分解，进而得到秘密共享方案，算法如下：

  • 设 (W = {u_1, \cdots, u_n}) 是图 (G) 的顶点覆盖。
  • (\Pi \leftarrow \varnothing)。
  • 对于 (i) 从 1 到 (n) 执行：
    1. (x \leftarrow u_i)。
    2. (\Pi \leftarrow \Pi \cup \text{Inc}(x))。
    3. (D \leftarrow {Y \in Adj(x) : |Inc(Y)| = 1})。
    4. (E(G) \leftarrow E(G) - Inc(x))。
    5. (V(G) \leftarrow V(G) - {x})。
  • 输出星分解 (\Pi)。

• 定理 5.6 ：设 (G) 是图且 (W \subseteq V(G)) 是顶点覆盖，则存在图 (G) 的秘密共享方案，其平均信息率与 (|V(G)|)、(|E(G)|) 和 (|W|) 有关。由于平均信息率仅取决于 (|W|)，所以在所有顶点覆盖中找到最大速率等价于最小化 (|W|)，即确定顶点覆盖数 (\beta(G))。不幸的是，计算 (\beta(G)) 是 NP - 难问题，但对于某些类别的图，如二分图和弦图，(\beta(G)) 可以在多项式时间内计算。

7. 路径和循环的平均信息率

图类型	条件	平均信息率
路径 (P_n)	(n = 1) 或 (n = 2)	(\rho^*(P_n) = 1)
路径 (P_n)	(n \geq 3) 且 (n) 为偶数	(\rho^*(P_n) = \frac{2(n + 1)}{3n})
路径 (P_n)	(n \geq 3) 且 (n) 为奇数	(\rho^*(P_n) = \frac{2(n + 1)}{3n + 1})
循环 (C_n)	(n = 3) 或 (n = 4)	(\rho^*(C_n) = 1)
循环 (C_n)	(n \geq 5) 且 (n) 为偶数	(\rho^*(C_n) = \frac{2}{3})
循环 (C_n)	(n \geq 5) 且 (n) 为奇数	(\frac{2n}{3n + 1} \leq \rho^*(C_n) \leq \frac{2}{3})

• 定理 5.9 ：对于长度为 (n)（(n \geq 3)）的路径 (P_n)，其最优平均信息率如上述表格所示。
  • 证明思路 ：容易看出 (P_n) 的基础由某些边组成，与 (P_{n - 2}) 同构，(P_{n - 2}) 是二分图且 (\beta(P_{n - 2}) = \lfloor\frac{n - 2}{2}\rfloor)。当 (n) 为偶数且 (n \geq 4) 时，根据定理 5.5 有 (\rho^ (P_n) \leq \frac{2(n + 1)}{3n})，通过使用定理 4.5 中的 CMC (\Pi_3) 可得 (\rho^ (P_n) \geq \frac{2(n + 1)}{3n})。当 (n) 为奇数且 (n \geq 3) 时，根据定理 5.5 有 (\rho^*(P_n) \leq \frac{2(n + 1)}{3n + 1})，通过使用定理 4.5 中的 CMC (\Pi_3) 可得到平均信息率等于 (\frac{2(n + 1)}{3n + 1}) 的秘密共享方案。
• 定理 5.10 ：对于长度为 (n)（(n \geq 5)）的循环 (C_n)，其最优平均信息率如上述表格所示。
  • 证明思路 ：容易看出 (C_n) 的基础是 (C_n) 本身，(C_n) 是自身的 2 - 因子，根据引理 5.3 有 (C^ = \frac{n}{2})，应用定理 5.2 可得 (\rho^ (C_n) \leq \frac{2}{3})。当 (n) 为偶数且 (n \geq 6) 时，已在定理 4.6 中证明 (\rho^ (C_n) = \frac{2}{3})。当 (n) 为奇数且 (n \geq 5) 时，根据定理 4.7 有 (\rho^ (C_n) \geq \frac{2n}{3n + 1})，结合 (\rho^*(C_n) \leq \frac{2}{3}) 可得相应的上下界。

8. 树的平均信息率

• 基础构造 ：树 (T) 的基础可以通过删除 (T) 中的所有一度顶点来构造。
  • 引理 5.11 ：设 (T) 是树，则 (T) 的基础 (T_1 = T[V(T) - degree - one(T)])。
  • 证明思路 ：设 (xy) 是 (T) 的一条边。若 ({x, y} \cap degree - one(T) \neq \varnothing)，则显然 (xy \notin E(T_1))。假设 ({x, y} \cap degree - one(T) = \varnothing)，设 (wx, yz \in E(T)) 且 (w \neq y)，(z \neq x)。由于 (T) 是树，(wy, wz, xz \notin E(T))，因此 (T[w, x, y, z] = {wx, xy, yz}) 且 (xy \in E(T_1))。
• 上下界定理 ：
  • 定理 5.12 ：设 (T) 是树且 (T_1 = T[V(T) - degree - one(T)])，则树 (T) 的平均信息率有上下界。
    • 证明思路 ：根据引理 5.11，(T_1) 是 (T) 的基础。因此，平均信息率的上界由定理 5.5 得出，下界由定理 5.6 得出，因为对于任何树 (T) 有 (|E(T)| = |V(T)| - 1)。
  • 定理 5.13 ：设 (T) 是具有 (n) 个顶点的树，则树 (T) 的平均信息率有一个一般的下界。
    • 证明思路 ：在二分图 (G) 中，顶点二分划 (V_1) 和 (V_2) 都是顶点覆盖，因此 (\beta(G) \leq \min{|V_1|, |V_2|} \leq \frac{|V_1| + |V_2|}{2})。树是二分图，所以 (\beta(T) \leq \frac{n}{2})。应用定理 5.12 可得相应结果。

9. 至多五个顶点的连通图的信息率

• 小顶点数图的分类 ：

  • 至多四个顶点的连通图有九个，其中七个是完全多部图，可采用理想方案，如 (K_2)、(K_3)、(K_{1, 2})、(K_4)、(K_{1, 3})、(K_{1, 1, 2})。剩下两个图是 (P_3)（长度为 3 的路径）和图 (W)，已知 (\rho^ (P_3) = \frac{2}{3}) 且 (\rho^ (P_3) = \frac{2}{3})，(\rho^ (W) = \frac{2}{3}) 且 (\rho^ (W) = \frac{4}{5})。
  • 五个顶点的非 - 同构连通图有 21 个，其中六个是完全多部图，可采用理想方案，如 (K_{1, 4})、(K_{2, 3})、(K_{1, 1, 3})、(K_{1, 2, 2})、(K_{2, 2, 1, 2}) 和 (K_5)。剩下的 15 个图的信息率和平均信息率的上下界总结如下表：
    |图|信息率 (\rho^ )|平均信息率 (\rho^ )|
    | ---- | ---- | ---- |
    | (G_1, \cdots, G_9)|(\rho^ = \frac{2}{3})|(\rho^ = \frac{5}{6})|
    | (G_{10}, G_{11})|(\rho^ = \frac{2}{3})|(\frac{3}{5} \leq \rho^ \leq \frac{2}{3})|
    | (G_{12})|(\rho^ = \frac{5}{8})|(\frac{5}{8} \leq \rho^ \leq \frac{2}{3})|
    | (G_{13})|(\rho^ = \frac{3}{5})|(\frac{3}{5} \leq \rho^ \leq \frac{2}{3})|
    | (G_{14})|(\rho^ = \frac{3}{5})|(\frac{4}{7} \leq \rho^ \leq \frac{2}{3})|
    | (G_{15})|(\rho^ = \frac{4}{7})|(\frac{5}{7} \leq \rho^ \leq \frac{10}{13})|

• 部分图的信息率实现 ：

  • (G_{12}) 是循环 (C_5)，由定理 4.7 可知 (\rho^*(G_{12}) = \frac{5}{8})。
  • (G_{13}) 通过使用附录 A 中的三个 CMC 实现 (\rho^*(G_{13}) = \frac{3}{5})。
  • (G_{14}) 通过使用附录 A 中的三个 CMC 实现 (\rho^*(G_{14}) = \frac{3}{5})。
  • (G_{15}) 的四个最小 CMCs 如附录 A 所示，通过求解线性规划问题：
    • 目标：最小化 (T)。
    • 约束条件：
      • (a_j \geq 0)，(1 \leq j \leq 4)。
      • 相关约束（根据矩阵 (R_{jv}) 确定）。
    • 最优解为 ((a_1, a_2, a_3, a_4, T) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0, \frac{7}{4}))，因此 (\rho^*(G_{15}) = \frac{4}{7})，该速率可以通过取一个副本的 (\Pi_1)、两个副本的 (\Pi_2) 和一个副本的 (\Pi_3) 来实现。

• 平均信息率上界 ：定理 5.1 给出了 (G_1, \cdots, G_9) 的平均信息率上界 (\rho^* \leq \frac{5}{6})。对于剩下的六个图 (G_{10}, \cdots, G_{15})，通过分析它们的基础并应用相应定理得到上界：

  • (G_{10}) 的基础由四条边 (BC)、(BE)、(DC)、(DE) 组成，是一个 4 顶点的 2 - 正则图，根据定理 5.3 有 (C^ = 2)，由定理 5.2 可得 (\rho^ \leq \frac{5}{7})。
  • (G_{11}) 的基础与 (G_{10}) 类似，同样有 (\rho^* \leq \frac{5}{7})。
  • (G_{12}) 是长度为 5 的循环，根据定理 5.10 有 (\rho^* \leq \frac{2}{3})。
  • (G_{13}) 的基础由三条边 (BC)、(BE)、(CE) 组成，是一个 3 顶点的 2 - 正则图，根据定理 5.3 有 (C^ = \frac{3}{2})，由定理 5.2 可得 (\rho^ \leq \frac{10}{13})。
  • (G_{14}) 的基础由五条边 (AB)、(AD)、(BC)、(BD)、(DE) 组成，线性规划问题的最优解 (C^ = 2)，由定理 5.2 可得 (\rho^ \leq \frac{5}{7})。
  • (G_{15}) 的基础与 (G_{14}) 同构，同样有 (\rho^* \leq \frac{5}{7})。

综上所述，通过对不同类型图（树、路径、循环、小顶点数连通图等）的研究，我们得到了它们在秘密共享方案中的信息率和平均信息率的相关结论。这些结论对于设计高效的秘密共享方案具有重要的指导意义，同时也为进一步研究图的信息论性质提供了基础。在实际应用中，可以根据具体的图结构和需求，选择合适的方案来实现最优的信息率。例如，对于树结构的图，可以利用星分解算法来构造秘密共享方案，以达到较好的信息率；对于路径和循环图，根据其长度的奇偶性可以确定最优的平均信息率。对于小顶点数的连通图，通过分析其结构和基础，可以得到准确的信息率上下界，从而为实际应用提供参考。

图的秘密共享方案信息率研究

10. 信息率研究的实际应用意义

在实际场景中，秘密共享方案的信息率研究具有重要价值。例如在网络安全领域，当需要对敏感信息进行分布式存储和管理时，秘密共享方案可以将秘密信息分割成多个份额，分发给不同的参与者。信息率的高低直接影响到方案的效率和实用性。
- 高信息率的优势 ：高信息率意味着在相同的秘密信息下，所需的份额数量相对较少，或者每个份额所包含的信息量相对较大。这可以减少存储和传输的开销，提高系统的性能。例如，在一个大型的分布式存储系统中，如果采用信息率高的秘密共享方案，就可以减少存储节点的数量，降低系统的成本。
- 不同图结构的应用选择 ：根据不同的图结构选择合适的秘密共享方案可以实现更优的信息率。对于树结构的图，由于其可以通过星分解算法得到信息率至少为 (\frac{1}{2}) 的秘密共享方案，因此在一些具有树状拓扑结构的网络中，可以优先考虑这种方案。而对于路径和循环图，根据其长度的奇偶性确定的最优平均信息率，可以为相关网络的安全设计提供精确的参考。

11. 研究方法总结

在研究图的秘密共享方案信息率的过程中，采用了多种方法，这些方法相互配合，为我们揭示了不同图结构下信息率的规律。
- 定理推导 ：通过一系列的定理推导，如定理 4.7、定理 5.9 等，我们得到了不同图（如循环图、路径图等）的信息率和平均信息率的具体表达式。这些定理的证明过程严谨，基于图的基本性质和秘密共享方案的相关理论，为我们提供了准确的理论依据。
- 算法设计 ：设计了如星分解算法（Covering 和 Cover）等，用于构造图的完全多部覆盖，从而得到秘密共享方案。这些算法的设计基于图的结构特点，具有一定的通用性和可操作性。
- 线性规划问题求解 ：通过求解线性规划问题 (d(G))，得到了图的平均信息率的上界。这种方法将图的结构信息转化为线性规划的约束条件，利用线性规划的求解方法得到了有价值的结果。

12. 未来研究方向展望

虽然我们已经对图的秘密共享方案信息率进行了较为深入的研究，但仍有一些问题值得进一步探讨。
- 更复杂图结构的研究 ：目前的研究主要集中在树、路径、循环和小顶点数的连通图等相对简单的图结构上。未来可以研究更复杂的图结构，如平面图、超图等，探索它们在秘密共享方案中的信息率规律。
- 动态图的信息率研究 ：在实际应用中，图的结构可能会随着时间的推移而发生变化，如网络拓扑的动态调整。因此，研究动态图的秘密共享方案信息率是一个有意义的方向。
- 信息率与其他性能指标的综合优化 ：除了信息率，秘密共享方案还涉及到其他性能指标，如安全性、容错性等。未来可以研究如何在保证其他性能指标的前提下，进一步优化信息率，实现多目标的综合优化。

13. 总结与回顾

本文围绕图的秘密共享方案信息率展开了深入研究，涵盖了从基本定义到具体图结构（树、路径、循环、小顶点数连通图等）的信息率分析，以及相关的算法设计和线性规划问题求解。通过对这些内容的研究，我们得到了以下重要结论：
- 不同图结构的信息率特点 ：不同图结构具有不同的信息率和平均信息率特点。例如，完全多部图可以实现理想方案，信息率为 1；树结构的图信息率至少为 (\frac{1}{2})；路径和循环图的信息率与长度的奇偶性有关。
- 研究方法的有效性 ：定理推导、算法设计和线性规划问题求解等方法在研究图的信息率中是有效的，它们相互配合，为我们揭示了图的信息率规律。
- 实际应用价值 ：信息率的研究对于设计高效的秘密共享方案具有重要的实际应用价值，可以为网络安全等领域的实际问题提供解决方案。

以下是一个 mermaid 格式的流程图，总结了研究图的秘密共享方案信息率的主要步骤：

graph TD
    A[定义图的基本概念] --> B[推导图的信息率定理]
    B --> C[设计构造方案的算法]
    C --> D[求解线性规划问题]
    D --> E[分析不同图结构的信息率]
    E --> F[应用于实际场景]
    F --> G[展望未来研究方向]

通过以上的研究和总结，我们对图的秘密共享方案信息率有了更深入的理解，为进一步的研究和实际应用奠定了基础。在未来的工作中，我们可以继续探索更复杂的图结构和动态图的信息率问题，实现秘密共享方案的性能优化。

研究内容	关键成果
树的信息率	信息率至少为 (\frac{1}{2})，通过星分解算法实现
路径和循环图的平均信息率	根据长度奇偶性确定最优值
小顶点数连通图的信息率	得到准确的上下界
线性规划问题求解	得到图平均信息率的上界