9、电路模拟与有限自动机的状态合并研究

电路模拟与有限自动机的状态合并研究

在电路模拟和有限自动机领域，有许多关键的理论和算法值得深入探讨。本文将围绕算法的等价性、二进制分析与模拟的关系，以及有限确定覆盖自动机（DFCA）的状态合并数量等问题展开详细阐述。

1. 算法等价性证明

1.1 算法 A 和 ˜A 的等价性

对于包含输入 - 门变量的网络 N，当从稳定状态启动时，算法 A 和 ˜A 是等价的。具体来说，设网络 N 包含输入 - 门变量，算法 ˜A 从稳定（二进制）总状态 ˜a · b 开始，输入元组变为 a 时产生的状态序列为 ˜s0, ˜s1, …, ˜sh, …；算法 A 从总状态 a · b 开始产生的状态序列为 s0, s1, …, sh, …。则对于所有 h ≥ 0，有 ˜sh = sh。

1.2 证明过程

采用归纳法证明：
- 基础步骤（h = 0） ：因为 s0 = b = ˜s0，所以基础情况成立。
- 第一步（h = 1） ：在状态 ˜s0 和 s0 中，只有输入 - 门变量可能不稳定，因此在 ˜A 和 A 的第一步中，只有它们会改变。可以容易地验证 ˜s1 = s1。
- 归纳步骤 ：对于任意 i ∈ [m]，如果 si 是输入 - 门变量，由于在两个算法中输入 - 门变量在第一步之后不会改变，所以 sh
i = sh−1
i 且 ˜sh
i = ˜sh−1
i 。根据归纳假设，有 sh
i = ˜sh
i 。如果 si 不是输入 - 门变量，