12、移动平均和自回归模型的时间序列预测

移动平均和自回归模型的时间序列预测

1. 模型选择标准

在最大似然法中，常用的模型选择标准有赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）。

1.1 赤池信息准则（AIC）

AIC 由 Hirotugu Akaike 于 1973 年首次用英文发表。其公式为：
$AIC = 2k - 2l$
其中，$k$ 是模型中的参数数量，$l$ 是最大似然法中的对数似然值。在模型选择时，我们倾向于选择 AIC 值最低的模型，这意味着该模型参数较少且对数似然值较高。对于 ARIMA 模型，AIC 可表示为：
$AIC = 2(p + q) - 2l$
这里省略了参数 $d$，因为它不引入额外的估计。

1.2 贝叶斯信息准则（BIC）

BIC 由 Gideon Schwarz 于 1978 年提出，与 AIC 非常相似。其公式为：
$BIC = k \cdot \ln(N) - 2l$
其中，$N$ 是数据集中的样本数量。根据 BIC，我们希望选择参数少、对数似然值高且训练样本数量少的模型。

2. 指数平滑法

指数平滑法可追溯到 Siméon Poisson 的工作，它使用指数窗口函数对时间序列数据进行平滑处理，可用于预测具有季节性和趋势的时间序列。

2.1 简单指数平滑法（SES）

简单指数平滑法是指数平滑法中最简单的方法，其公式为：
$s_0 = x_0$
$s_t = \alpha x_t + (1 - \alpha)x_{t - 1}$
其中，$\alpha$ 是