18、高效隐私保护的 K-Means 聚类算法解析

高效隐私保护的 K-Means 聚类算法解析

在数据挖掘领域，K-Means 聚类是一种广泛应用的统计数据分析技术。研究人员利用聚类分析将消费者群体划分为不同的市场细分，以更好地理解不同消费者群体或潜在客户之间的关系。然而，收集到的数据可能包含敏感或私人信息，这引发了隐私担忧。因此，如何在保护数据隐私的前提下进行有效的聚类分析成为了一个重要的研究课题。

1. 传统隐私保护方法的局限性

传统上，为了实现数据隐私保护，主要采用了两种方法：
- 数据扰动技术 ：通过引入噪声和数据变换来实现部分隐私保护。这种方法在有噪声的数据上进行聚类，得到近似正确的聚类结果。其优点是通信开销可以忽略不计，但为了实用性牺牲了一定的隐私。
- 安全多方计算（SMC） ：旨在实现完全的隐私保护。SMC 允许一组拥有各自私有数据的人对他们的数据总和进行共同计算，同时确保在过程中不向任何人透露个人信息。然而，基于 SMC 的协议计算成本极高。在非安全实现中只需一轮通信的操作，在使用 SMC 的安全实现中可能需要数十万轮通信（取决于域大小）。对于数据挖掘应用，由于涉及的数据量巨大，这种通信成本使得该协议在实际应用中不可行。
- 同态加密方案 ：使用语义安全的加法或乘法同态加密方案。一方使用其公钥对数据进行加密，并将加密数据与另一方共享进行计算。但加密开销和通信成本限制了此类算法的应用范围。虽然使用双同态方案可以减少交互，但目前已知的双同态方案可能会导致计算密集的理论解决方案。

2. 基于秘密共享的解决方案

为了克服传统方法的局限性，我们采用了秘密共享的范式。秘密共享允许将数据分割成多个份额，并在不同的服务器上分别进行处理。具体来说，我们提出了一种基于云计算的解决方案，利用 R（R > 2）个非勾结服务器的服务。

2.1 秘密共享的基本原理

我们使用基于中国剩余定理（CRT）的秘密共享方案。每个用户需要使用 Shatter 函数计算其私有数据的 R 个秘密份额，并将每个份额发送到特定的服务器进行处理。Shatter 函数确保计算出的秘密份额本身不会透露原始私有数据的任何信息。服务器使用这些秘密份额运行 K-Means 算法，协议确保没有用户或服务器拥有足够的信息来重建原始数据，从而确保隐私。

• Shatter 函数 ：将数据 x 分割成 R 个部分 x1, x2, …, xR，每个份额 xi 本身不透露关于 x 的任何信息。其定义为：
  [xi = φ(x, Pi) = (x · S + η) mod Pi]
  其中 xi 是第 i 个秘密份额，η 是每个秘密 x 的独立随机数，满足 (0 ≤ η ≤ S/2)。秘密份额 xi 存储在第 i 个服务器上。
• Merge 函数 ：给定不同素数 Pi 下的 xi = φ(x, Pi)，可以使用 CRT 通过求解同余方程组来恢复秘密 x。其定义为：
  [x = μ(xi, Pi) = CRT (xi, Pi) / S]

2.2 解决方案架构

每个 N 用户将其私有数据进行粉碎（Shatter），并将份额发送到预先选择的 R 个服务器进行计算。最终结果通过合并（Merge）计算服务器的输出来获得。

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px

    N1(用户 1):::process -->|粉碎数据| S1(服务器 1):::process
    N1 -->|粉碎数据| S2(服务器 2):::process
    N1 -->|粉碎数据| S3(服务器 3):::process
    N2(用户 2):::process -->|粉碎数据| S1
    N2 -->|粉碎数据| S2
    N2 -->|粉碎数据| S3
    S1 -->|合并输出| R(结果):::process
    S2 -->|合并输出| R
    S3 -->|合并输出| R

3. 隐私保护 K-Means 算法协议

整个协议可以分为两个阶段：

3.1 第一阶段：安全存储

• 参数选择 ：选择合适的剩余数系统（RNS）进行安全存储。设 [−M, M] 是属性域，点可以表示在 D 维欧几里得空间 (R_D^{2M}) 中。计算 (W1 = 4M^2D)（两点之间最大可能欧几里得距离的平方）和 (W2 = 2ML)（一个簇的坐标最大和），取 (W = max(W1, W2))。选择素数 (Pj) 使得 (P = \prod_{j=1}^{R}Pj ≥ 2U)，其中 (U = max(W1·S^2, W2·S))，并且 (S ≥ max_j Pj)。通常，选择满足上述属性的最小 R 个连续素数。当 (S ≈ (2W)^{\frac{1}{R - 2}}) 时，单个服务器将获得很少的有意义信息。
• 数据粉碎 ：每个 N 方使用 Shatter 函数计算其各自数据的秘密份额，并将份额发送到服务器进行处理。

3.2 第二阶段：安全 K-Means

该阶段的算法遵循标准 K-Means 算法的迭代结构，包括初始化、Lloyd 步骤和停止准则。

• 初始化 ：选择 K 个实体的索引作为初始聚类中心。计算服务器 j 存储每个聚类中心 Ck 的秘密份额 Ckj。初始化过程直接使用秘密份额进行，独立在每个服务器上完成，因此计算和通信开销为零。

# 算法 1：PPKM 初始化
for k in range(1, K + 1):
    l = random.randint(1, L)  # 选择一个随机实体索引 l
    for j in range(1, R + 1):
        Xlj = get_shatter_share_of_entity_l(j)  # 获取实体 l 在服务器 j 上的秘密份额
        Ckj = Xlj  # 初始化 Ckj 为所选实体的秘密份额

• Lloyd 步骤
  • 寻找最近的聚类中心 ：对于每个数据实体 Xl，计算其到每个聚类中心 Ck 的欧几里得距离的平方。由于 RNS 是双同态的，服务器可以独立计算这些距离的秘密份额。为了找到最小距离，我们应用置换和随机化方案。每个服务器选择一个随机数，对距离差的份额进行随机化，然后将其发送到一个非信任服务器（阈值器）进行比较。通过多次比较，将数据点分配到最近的聚类中心。

# 算法 2：寻找 K 个数中的最小值
minIndex = 1
for k in range(2, K + 1):
    for j in range(1, R + 1):
        rj = random.randint(1, MAX_RANDOM)  # 选择一个正随机数 rj
        for i in range(1, R + 1):
            send(rj % Pi, i)  # 发送 rj % Pi 到服务器 i
    for j in range(1, R + 1):
        r_prime_j = sum_received_random_numbers(j)  # 计算服务器 j 收到的 R 个随机数的总和
        diff = get_shatter_share_difference(CminIndexj, Ckj)  # 计算 CminIndex 和 Ck 的秘密份额差
        randomized_diff = diff * r_prime_j  # 对差异进行随机化
        send(randomized_diff, thresholder)  # 将随机化的差异份额发送到阈值器
    result = thresholder_comparison()  # 阈值器进行比较
    if result > 0:
        minIndex = k
    thresholder = choose_next_thresholder()  # 切换阈值器的角色

- **更新聚类位置**：一旦每个数据点被分配到一个聚类，就需要重新计算聚类位置。对于每个聚类 k，聚类中心更新为分配到该聚类的新点的质心。由于在 RNS 中通用除法未定义，我们使用隐私保护除法协议（PPDP）来计算新的聚类中心。

# 算法 3：隐私保护除法协议（PPDP）
r, r_prime = choose_random_numbers()  # 随机选择 r 和 r_prime
for j in range(1, R + 1):
    rj = get_shatter_share_of_r(j)  # 获取 r 的秘密份额
    r_prime_j = get_shatter_share_of_r_prime(j)  # 获取 r_prime 的秘密份额
    Xj = get_shatter_share_of_X(j)  # 获取 X 的秘密份额
    X_prime_j = rj * (Xj + r_prime_j * n) % Pj  # 计算 X'
    send(X_prime_j, thresholder)  # 将 X' 发送到阈值器
X_prime = thresholder_merge()  # 阈值器使用合并函数计算 X'
q_prime = X_prime // n  # 计算 q'
for j in range(1, R + 1):
    q_prime_j = get_shatter_share_of_q_prime(j)  # 获取 q' 的秘密份额
    qj = (q_prime_j * rj_inverse - r_prime_j) % Pj  # 对收到的商进行去随机化

4. 算法的优势和正确性

• 优势 ：该算法在实现与 SMC 相当的安全性的同时，将通信成本降低到与数据扰动技术相似的水平。与基于 SMC 的协议相比，它的速度快了超过一百万倍。
• 正确性 ：在计算距离时，通过适当设置笛卡尔系统的步长为 2，可以确保算法的正确性。
• 隐私性 ：该算法对基于 GCD 和因式分解的攻击具有安全性。服务器共同选择随机化参数，并且阈值器的角色在 R 个服务器之间随机切换，从而确保隐私。

通过以上方法，我们实现了一种高效且安全的隐私保护 K-Means 聚类算法，为数据挖掘中的隐私保护问题提供了一种可行的解决方案。

高效隐私保护的 K-Means 聚类算法解析（下半部分）

5. 算法的详细分析

5.1 计算复杂度分析

• 初始化阶段 ：在初始化时，每个服务器独立地选择初始聚类中心的秘密份额。对于每个聚类中心 (C_k)（(1 \leq k \leq K)），需要选择一个随机实体索引 (l)，并将该实体在服务器 (j)（(1 \leq j \leq R)）上的秘密份额赋值给 (C_{kj})。这个过程的时间复杂度为 (O(K \times R))，因为需要对 (K) 个聚类中心和 (R) 个服务器进行操作。
• Lloyd 步骤 - 寻找最近的聚类中心 ：对于每个数据实体 (X_l)（(1 \leq l \leq L)），需要计算其到 (K) 个聚类中心的距离平方。每个服务器可以独立计算这些距离的秘密份额，计算每个距离平方的时间复杂度为 (O(D))（(D) 为数据的维度）。然后，为了找到最小距离，需要进行 (K - 1) 次比较。每次比较需要 (R) 个服务器进行随机化和通信操作，时间复杂度为 (O(R))。因此，寻找最近聚类中心的总时间复杂度为 (O(L \times K \times D + L \times (K - 1) \times R))。
• Lloyd 步骤 - 更新聚类位置 ：对于每个聚类 (k)，需要计算分配到该聚类的 (n_k) 个数据点的坐标总和。每个服务器可以独立计算这个总和，时间复杂度为 (O(n_k \times D))。然后，使用隐私保护除法协议（PPDP）计算新的聚类中心，PPDP 的时间复杂度主要取决于随机数的选择和一次通信，为 (O(R))。因此，更新聚类位置的总时间复杂度为 (O(K \times \sum_{k = 1}^{K} n_k \times D + K \times R))。

5.2 通信复杂度分析

• 初始化阶段 ：初始化过程中，服务器之间不需要进行通信，因此通信复杂度为 (O(0))。
• Lloyd 步骤 - 寻找最近的聚类中心 ：在寻找最近聚类中心时，每个服务器需要将随机化的距离差份额发送到阈值器进行比较。每次比较需要 (R) 个服务器进行通信，总共需要进行 (L \times (K - 1)) 次比较。因此，通信复杂度为 (O(L \times (K - 1) \times R))。
• Lloyd 步骤 - 更新聚类位置 ：在更新聚类位置时，使用 PPDP 协议。每个服务器需要将随机化的 (X’) 发送到阈值器，然后阈值器将 (q’) 的秘密份额发送回服务器。这个过程需要进行一轮通信，通信复杂度为 (O(K \times R))。

6. 实际应用场景

• 医疗数据挖掘 ：在医疗领域，不同医院可能拥有患者的不同信息，如病历、检查结果等。这些数据包含患者的敏感信息，不能随意共享。使用我们的隐私保护 K-Means 聚类算法，可以在不泄露患者隐私的情况下，对这些数据进行聚类分析，例如将患者分为不同的疾病类型或治疗反应组，从而为医疗决策提供支持。
  • 操作步骤 ：
    1. 各医院将患者数据进行粉碎（Shatter），计算秘密份额。
    2. 将秘密份额发送到预先选择的非勾结服务器。
    3. 服务器运行 K-Means 算法进行聚类分析。
    4. 各医院使用合并（Merge）函数重建聚类结果。
• 金融风险评估 ：金融机构可能拥有客户的不同财务信息，如收入、负债、信用记录等。通过隐私保护的聚类分析，可以将客户分为不同的风险等级，帮助金融机构制定更合理的信贷政策。
  • 操作步骤 ：
    1. 金融机构对客户数据进行预处理，确定属性域和范围。
    2. 选择合适的素数和尺度因子，计算秘密份额。
    3. 将秘密份额发送到服务器进行聚类。
    4. 金融机构根据聚类结果评估客户风险。

7. 总结与展望

我们提出的基于秘密共享的隐私保护 K-Means 聚类算法，有效地解决了传统方法在计算成本和通信成本方面的局限性。通过使用秘密共享范式，我们实现了与 SMC 相当的安全性，同时将通信成本降低到与数据扰动技术相似的水平。该算法在计算复杂度和通信复杂度上都具有较好的性能，并且在实际应用场景中具有广泛的应用前景。

然而，该算法仍然存在一些可以改进的地方。例如，在随机数的选择上，可以进一步优化以提高算法的效率。此外，对于大规模数据的处理，可能需要考虑分布式计算的优化策略。未来的研究可以探索如何将该算法与其他隐私保护技术相结合，以提供更强大的隐私保护能力。同时，可以研究如何将该算法应用到更多的领域，如物联网、社交网络等，为这些领域的数据挖掘提供隐私保护解决方案。

总之，我们的算法为数据挖掘中的隐私保护问题提供了一种可行的解决方案，并且具有很大的发展潜力。通过不断的研究和改进，相信该算法将在实际应用中发挥更大的作用。