贪心算法2

在求最优解问题的过程中 ，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求解每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是谈心算法。

从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某中意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。

例题1：均分纸牌（NOIP2002tg）

问题描述：有N堆纸牌，编号分别为1，2，…，n。每堆上有若干张,但纸牌总数必为n的倍数.可以在任一堆上取若干张纸牌,然后移动。移牌的规则为：在编号为1上取的纸牌，只能移到编号为2的堆上；在编号为n的堆上取的纸牌，只能移到编号为n-1的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。例如：n=4，4堆纸牌分别为：① 9 ② 8 ③ 17 ④ 6 移动三次可以达到目的：从③取4张牌放到④ 再从③区3张放到②然后从②去1张放到①。

输入：键盘输入文件名。

文件格式：n （n堆纸牌 1<=n<=100）

a1,a2,a3,… an(n堆纸牌，每堆纸牌初始数，1<=ai<=10000)

输出：输出至屏幕。格式为：所有堆数均达到相等时的最少移动次数。

输入输出样例：a.in:     4

9         8 17 6

屏幕显示：3

算法分析：设a[i]为第I堆纸牌的张数（0<=I<=n），v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移动次数。

我们用贪心法，按照从左到右的顺序移动纸牌。如第I堆的纸牌数不等于平均值，则移动一次（即s加1），分两种情况移动：

1．若a[i]>v,则将a[i]-v张从第I堆移动到第I+1堆；

2．若a[i]<v，则将v- a[i]张从第I+1堆移动到第I堆。

为了设计的方便，我们把这两种情况统一看作是将a[i]-v从第I堆移动到第I+1堆，移动后有a[i]=v; a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v.

在从第I+1堆取出纸牌补充第I堆的过程中可能回出现第I+1堆的纸牌小于零的情况。

如n=3，三堆指派数为1 2 27 ，这时v=10，为了使第一堆为10，要从第二堆移9张到第一堆，而第二堆只有2张可以移，这是不是意味着刚才使用贪心法是错误的呢？

我们继续按规则分析移牌过程，从第二堆移出9张到第一堆后，第一堆有10张，第二堆剩下-7张，在从第三堆移动17张到第二堆，刚好三堆纸牌都是10，最后结果是对的，我们在移动过程中，只是改变了移动的顺序，而移动次数不便，因此此题使用贪心法可行的。

源程序：

var I,n,s:integer; v:longint;   a:array[1..100] of longint;

f:text; fil:string;

begin   realn(fil);

        assign(f,fi); reset(f);

        readln(f,n); v:=0;

        for I:=1 to n do begin

read(f,a[i]), inc(v,a[i]);

                         end;

        v:=v div n;   {每堆牌的平均数}

        for I:=1 to n-1 do

          if a[i]<>v then   {贪心选择}

                        begin   inc(s);   {移牌步数记数}

                              a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v;{使第I堆牌数为v}

                         end;

          writeln(s);

end.

    利用贪心法解题，需要解决两个问题：

    一是问题是否适合用贪心法求解。我们看一个找币的例子，如果一个货币系统有三种币值，面值分别为一角、五分和一分，求最小找币数时，可以用贪心法求解；如果将这三种币值改为一角一分、五分和一分，就不能使用贪心法求解。用贪心法解题很方便，但它的适用范围很小，判断一个问题是否适合用贪心法求解，目前还没有一个通用的方法，在信息学竞赛中，需要凭个人的经验来判断何时该使用贪心算法。

    二是确定了可以用贪心算法之后，如何选择一个贪心标准，才能保证得到问题的最优解。在选择贪心标准时，我们要对所选的贪心标准进行验证才能使用，不要被表面上看似正确的贪心标准所迷惑，如下面的例子。

例题2：设有n个正整数，将它们连接成一排，组成一个最大的多位整数。

例如：n=3时，3个整数13，312，343，连成的最大整数为34331213。

又如：n=4时，4个整数7，13，4，246，连成的最大整数为7424613。

输入：n

      N个数

输出：连成的多位数

算法分析：此题很容易想到使用贪心法，在考试时有很多同学把整数按从大到小的顺序连接起来，测试题目的例子也都符合，但最后测试的结果却不全对。按这种标准，我们很容易找到反例：12，121应该组成12121而非12112，那么是不是相互包含的时候就从小到大呢？也不一定，如12，123就是12312而非12123，这种情况就有很多种了。是不是此题不能用贪心法呢？

其实此题可以用贪心法来求解，只是刚才的标准不对，正确的标准是：先把整数转换成字符串，然后在比较a+b和b+a，如果a+b>b+a，就把a排在b的前面，反之则把a排在b的后面。

源程序：

Var s:array[1..20] of string;

     T:string;I,k,j,n:longint;

Begin

     Readln(n);

     For i:=1 to n do

        Begin   read(k);

                Str(k,s[i]);

         End;

     For i:=1 to n-1 do

         For j:=i+1 to n do

           If s[i]+s[j]<s[j]+s[i] then

              Begin   t:=s[i];

                      S[i]:=s[j];

                      S[j]:=t;

              End;

      For i:=1 to n do write(s[i]);

End.

贪心算法所作的选择可以依赖于以往所作过的选择，但决不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解，因此贪心算法与其他算法相比具有一定的速度优势。如果一个问题可以同时用几种方法解决，谈心算法应该是最好的选择之一。