Algebra:Chapter 0 - 集合

最新推荐文章于 2020-07-30 09:21:51 发布

tuhoooo

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本文深入浅出地介绍了集合论的基本概念，包括集合的定义、表示方式、常用符号以及元素的特性。探讨了集合的无序性和元素的唯一性，并通过实例说明了如何定义和表示集合。

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集合

$s e t$ 记号将“一坨对象”这个直观的概念给正式化了。集合中所包含的对象就确定了这个集合：两个集合 $A$ 和 $B$ 是相等的（记作 $A = = B$ ）当前仅当它们包含了相同的元素。

“什么是一个元素?”这个问题在朴素集合论是一个forbidden question。

作者这里就是提了一下，现阶段就把元素当作鸡鸭牛羊，点线面等乱七八糟的东西，反正都能往集合里面装。

可以通过列出集合中的所有元素来定义一个集合。
$A := \{1,2,3\}$ 按约定，集合中的元素如何列举，或者重复对于集合的定义而言都是无关紧要的。比如： ${1,2,3\} = \{1,3,2\} = \{1,2,1,3,3,2,3,1,1,2,1,2\}$ 采用列举元素的这种方式显得非常的冗长复杂，而且只适用于有限集合。对于无限集合，解决这种问题的方法是采用某种模式，比如偶数集合可以写成这样：
$\{\dots,-2,0,2,4,6,\dots\}$ 但是这种定义天生地带有歧义，容易误解。而且有些集合还“非常大”，根本无法列举，比如实数。

所以通常更好的做法是定义一个描述集合元素的表达式，这些元素属于某个更大的（并且是已知的）集合 $S$ ，满足某种性质 $P$ 。
$\{s\in S\mid s\ \textup{satisfies}\ P\}$ ( $∈\in$ 表示属于）这种方式是精确的且没有歧义。

我们偶尔会遇到集合记号的变体，叫做“multiset”。一个multiset是一个允许“多样性”元素的：比如 ${2,2\}$ 就和 ${2\}$ 不同。正确定义multiset的方法是通过 $f u n c t i o n s$ 。

一些常用的集合如下：

$∅{\empty}$ ：空集，不包含任何元素的集合；
$N\mathbb{N}$ ：自然数的集合（非负整数的集合）；
$Z\mathbb{Z}$ ：整数集合；
$Q\mathbb{Q}$ ：有理数的集合；
$R\mathbb{R}$ ：实数集合；
$C\mathbb{C}$ ：复数集合。

$s i n g l e t i o n$ 用来表示只包含一个元素的集合。比如 ${1\}$ ， ${2\}$ ， ${3\}$ 都是不同的集合，但是它们都是 $s i n g l e t i o n s$ 。

下面是一些有用的符号（称作“数量词;数量修饰语;量词”）：

$∃\exist$ 表示“存在”（existential quantifier）；
$∀\forall$ 表示“对于所有”（universal quantifier）。

比如偶数集合可以写成： $\{a\in \mathbb{Z}\mid(\exist n \in \mathbb{Z})\ a = 2n\}$ 用语言描述就是“存在整数 $n$ 使得 $a = 2 n$ 的所有整数 $a$ ”。

另外要注意书写的顺序会有很大的影响。例如： $b=2a(\forall a \in \mathbb{Z})(\exist b \in \mathbb{Z})\ b = 2a$ 为真：它说的是任意整数乘以2会得到一个整数；但是 $b=2a(\exist b \in \mathbb{Z})(\forall a \in \mathbb{Z})\ b = 2a$ 是假的：它说的是存在某个整数 $b$ 对于任意的整数 $a$ 而言， $b$ 都是 $a$ 的两倍——这显然是假的。