模二运算

模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。

①模2加法运算定义为：
0＋0＝0      0＋1＝1      1＋0＝1      1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，列竖式计算：
   0 1 01
＋ 0 0 1 1
──────
   0 1 1 0

②模2减法运算定义为：
0－0＝0      0－1＝1      1－0＝1      1－1＝0
例如0110－0011＝0101，列竖式计算：
   01 1 0
－  0 0 1 1
──────
   0 1 0 1

③模2乘法运算定义为：
0×0＝0      0×1＝0      1×0＝0      1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算：
      1 0 1 1
     × 1 0 1
    ──────
            1 0 1 1
     00 0 0
＋ 1 0 1 1
────────
   1 0 0 1 1 1

④模2除法运算定义为：
0÷1＝0      1÷1＝1
多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义 的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算：
             1 1 10
      ────────
1 0 1 1〕1 1 0 0 1 00
     － 1 0 1 1
      ──────
           1 1 1 1
       －1 0 1 1
      ──────
             10 0 0
          －1 0 1 1
         ──────
               01 1 0
           －0 0 0 0
         ──────
                1 1 0

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