6、计算机中的数制系统与数据表示

计算机中的数制系统与数据表示

在计算机领域，数制系统和数据表示是非常基础且重要的概念。了解不同的数制以及它们之间的转换方法，还有各种数据类型的表示方式，对于理解计算机的工作原理至关重要。

数制系统

计算机中常用的数制有二进制、八进制和十六进制。

二进制

计算机内部使用的是二进制数制，也就是以 2 为基数的数制。在二进制数中，每个系数 $C_i$ 都具有 $2^i$ 的权重。任何信息、机器指令或数据都由 0 和 1 组成的位串来表示。

例如，一个 4 位的无符号整数可以表示从 0 到 15 的正整数。以 4 位二进制数为例，它实际上可以看作是 5 位，只不过最高位为 0 作为正号隐藏起来了。因为总共有 $2^4 = 16$ 种组合，所以可以表示 16 个正整数。

对于二进制数的加法，以 0001 加 1 为例：

0001
+)
1
0010

当二进制位相加结果超过 1 时，当前位变为 0，并向高位进位。

给定一个二进制数，我们可以使用其位权表示法来计算它的十进制值。例如：
$1001 0001_2 = 1 * 2^7 + 1* 2^4 + 1 * 2^0 = 128 + 16 + 1 = 145$

在简单的 CPU 中，加法器用于执行两个二进制数的算术运算。一个 16 位加法器可以在一个加法周期内将两个 16 位的操作数相加，而 32 位加法器则可以处理两个 32 位的操作数。一位全加器有三个输入（$A_i$、$B_i$ 和 $C_i$）和两个输出（$S_i