NOI 2015 寿司晚宴状压DP

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本文介绍了一个关于NOI寿司晚宴问题的算法解决方案。问题要求统计两种和谐品尝方案的数量，避免选择美味度互质的寿司。通过压缩质因子并分组讨论，实现了O(n*3^8)的复杂度。

为了庆祝NOI的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小G和小W作为参加NOI的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上，主办方为大家提供了 $n−1$ 种不同的寿司，编号 $1,2,3,⋯,n-1$ ，其中第种寿司的美味度为 $i+1$ （即寿司的美味度为从 $2$ 到 $n$ ）。

现在小G和小W希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小G品尝的寿司种类中存在一种美味度为x的寿司，小W品尝的寿司中存在一种美味度为y的寿司，而x与y不互质。

现在小G和小W希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数p取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

题外话：
　　上午听某大神讲DP，讲了不少NOI的好(恶心)题（然而基本没有听懂）。结果晚上水NOI2015时就碰到了。
　　一开始偷瞄了题目标签，看到状压后很容易想到压质因子，不过看了看顶多拿一半分。感觉应该是 $Ｏ(n*2 ^ \sqrt{n})$ 的做法，但细节想不清楚。。

思路：
　　果然只要压 $\sqrt{n}$ 以内的质因子，对所有数按其大于 $\sqrt{n}$ 的因数分组，若没有大于 $\sqrt{n}$ 的因数则单独分组。对于小于 $\sqrt{n}$ 的因子实际上有３种状态，即某一个人选或者都不选，但这样不是很方便，简单起见我们用 $f[i][j]$ 表示第一个人取的状态为 $i$ ,第二个人取的状态为 $j$ 的方案数。然后一开始就去掉无效状态加以优化（其实不优化也行）。
　　然后对于每一组数，显然某个人只要选了其中的一个，另外一个人就一个也不能选，于是我们每次将ｆ复制到 $dp[][]$ ，转移也就不难推了。处理完一组后再令 $f[u][v] = dp[u][v] + dp[v][u] - f[i][j]$ ，表示某一个人选或不选这一组数，由于这两种情况都包含了两人都不选的情况，所以还需要减掉重复
　　由于小于 $\sqrt{n}$ 的质数最多只有８个，所以复杂度为 $O(n * 3^8)$ 。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define For(i,j,k) for(int i = j;i <= k;i++)
#define Forr(i,j,k) for(int i = j;i >= k;i--)

const int N = 256;
const int Prime[] = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};

using namespace std;

struct Num{
    int fac, s;

    bool operator < (const Num& A) const{
        return fac < A.fac;
    }

}A[N<<1];

typedef long long LL;

LL f[N][N], dp[N][N], Mod;
int n, Begin[N], Next[N * N], to[N * N], e;

int main(){
    scanf("%d%lld", &n, &Mod);
    For(i,1,n-1){
        int t = i + 1;
        For(j,1,8) while(t % Prime[j] == 0) 
            t /= Prime[j], A[i].s |= 1 << (j - 1);
        A[i].fac = t;
    }
    For(u,0,255) 
        For(v,0,255) 
            if(!(u & v)){
                Next[++e] = Begin[u];
                Begin[u] = e;
                to[e] = v;
            }
    sort(A + 1, A + n);
    f[0][0] = dp[0][0] = 1;
    int l = 1;
    while(l < n){
        int r = l;
        while(A[r+1].fac == A[l].fac && A[l].fac != 1) ++r;
        For(i,l,r)
            Forr(u,255,0) for(int j = Begin[u];j;j = Next[j]){
                int v = to[j];
                if(!(A[i].s & u)) dp[u][v|A[i].s] = 
                    (dp[u][v|A[i].s] + dp[u][v]) % Mod;
            }
        For(u,0,255) 
            for(int j = Begin[u];j;j = Next[j]){
                int v = to[j];
                f[u][v] = 
                    (dp[u][v] + dp[v][u] - f[u][v] + Mod) % Mod;
            }
        For(u,0,255)
            for(int j = Begin[u];j;j = Next[j]) 
                dp[u][to[j]] = f[u][to[j]];
        l = r + 1;
    }
    LL Ans = 0;
    For(u,0,255) For(v,0,255) Ans = (Ans + f[u][v]) % Mod;
    printf("%lld\n", Ans);
    return 0;
}