12. 树（1）

1. 树的定义

  树 (Tree) 是 n(n>=0) 个结点的有限集。当 n=0 时成为空树，在任意一棵非空树中：有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)，即如下图所示

虽然从概念上很容易理解树，但是有两点还是需要大家注意下：n>0时，根结点是唯一的，坚决不可能存在多个根结点；m>0时，子树的个数是没有限制的，但它们互相是一定不会相交的。比如说下面的两种情况就不是树

刚才所有图片中，每一个圈圈我们就称为树的一个结点。结点拥有的子树数称为结点的度-(Degree)，树的度取树内各结点的度的最大值。度为0的结点称为叶结点(Leaf)或终端结点；度不为0的结点称为分支结点或非终端结点，除根结点外，分支结点也称为内部结点。

1.1 结点间的关系

  结点的子树的根称为结点的孩子(Child)，相应的，该结点称为孩子的双亲(Parent)（注意是双亲而不是父亲），同一双亲的孩子之间互称为兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。

1.2 结点的层次

  结点的层次(Level)从根开始定一起，根为第一层，根的孩子为第二层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度。

2. 树的存储结构

  要存储树，简单的顺序存储结构和链式存储结构是不能滴！不过如果充分利用它们各自的特点，完全可以间接地来实现。这里要介绍三种不同的表示法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

2.1 双亲表示法

  双亲表示法，言外之意就是以双亲作为索引的关键词的一种存储方式。我们假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示其双亲结点在数组中位置的元素。也就是说，每个结点除了知道自己是谁之外，还知道它的双亲在哪里，如下图所示

具体定义的结构如下

// 树的双亲表示法结点结构定义
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int ElemType;

typedef struct PTNode
{
    ElemType data;  // 结点数据
    int parent;     // 双亲位置
}PTNode;

typedef struct
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
    int r;          // 根的位置
    int n;          // 结点数目
}PTree;

这样的存储结构，我们可以根据某结点的parent指针找到它的双亲结点，所用的时间复杂度是O(1)，索引到parent的值为-1时，表示找到了树结点的根。可是，如果我们要知道某结点的孩子是什么？那么不好意思，请遍历整个树结构。

  为了解决这个问题，稍微改变一下结构，如下图所示，可以清楚的找到每个结点的孩子（其中的-1 代表没有）。

那现在我们又比较关心它们兄弟之间的关系呢？可以采用下图的方法

2.2 孩子表示法

  在这里给出三种孩子表示法，其中前两种只是用来思考，最后一种用来真正的实践。

  第一种方法根据树的度，声明足够空间存放子树指针的结点。

其中的每一个“^”就代表一个空，所以缺点十分明显，造成了大量的浪费！

  第二种方法如下图所示

这样我们就克服了浪费这个概念，我们从此走上了节俭的社会主义道路！但每个结点的度的值不同，初始化和维护起来难度巨大吧？

  第三种方法如下图所示

我们可以看到数组就是这样，左侧是数组的序号，右侧是连接孩子结点的头指针，后面跟着的是他的孩子结点。每个孩子结点的第一个数是孩子节点下标，第二个数是双亲相同的另一个孩子的下标。

具体结构的代码如下所示

#define MAX_TREE_SIZE   100

typedef char ElemType;      // 孩子结点

// 孩子结点
typedef struct CTNode
{
    int child;              // 孩子结点的下标
    struct CTNode *next;    // 指向下一个孩子结点的指针
} *ChildPtr;

// 表头结构
typedef struct
{   
    ElemType data;          // 存放在树中的结点的数据
    int parent;             // 存放双亲的下标
    ChildPtr firstchild;    // 指向第一个孩子的指针
} CTBox;

// 树结构
typedef struct
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; // 结点数组
    int r, n;
}

2.3 孩子表示法双亲孩子表示法

  那只找到孩子找不到双亲貌似还不够完善，那么我们合并上一讲的双亲孩子表示法。