位运算n&(n-1)的使用

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按位与的知识

n&(n-1)作用：将n的二进制表示中的最低位为1的改为0，先看一个简单的例子：
n = 10100(二进制），则(n-1) = 10011 ==》n&(n-1) = 10000
可以看到原本最低位为1的那位变为0。
弄明白了n&(n-1)的作用，那它有哪些应用？

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1、 判断一个数是否是2的方幂
n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0 )

解释((n & (n-1)) == 0)：

如果A&B==0，表示A与B的二进制形式没有在同一个位置都为1的时候。

那么本题到底啥意思？？

不妨先看下n-1是什么意思。

   令:n=1101011000(二进制,十进制也一样)，则

    n-1=1101010111。

n&(n-1)=1101010000

由此可以得出，n和n-1的低位不一样，直到有个转折点，就是借位的那个点，从这个点开始的高位，n和n-1都一样，如果高位一样这就造成一个问题，就是n和n-1在相同的位上可能会有同一个1，从而使((n & (n-1)) != 0),如果想要

((n & (n-1)) == 0)，则高位必须全为0，这样就没有相同的1。

所以n是2的幂或0

2. 求某一个数的二进制表示中1的个数
while (n >0 ) {
      count ++;
      n &= (n-1);
}

3. 计算N!的质因数2的个数。
容易得出N!质因数2的个数 = [N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + ….
下面通过一个简单的例子来推导一下过程：N = 10101(二进制表示）
现在我们跟踪最高位的1，不考虑其他位假定为0，
则在
[N / 2]    01000
[N / 4]    00100
[N / 8]    00010
[N / 8]    00001
则所有相加等于01111 = 10000 - 1
由此推及其他位可得：(10101)!的质因数2的个数为10000 - 1 + 00100 - 1 + 00001 - 1 = 10101 - 3(二进制表示中1的个数)

推及一般N!的质因数2的个数为N-(N二进制表示中1的个数)