图判断有无环

图论：对于无向图，m个定点，n条边，其中有k颗树。若无环，则肯定n>m,因为 n=k+m。若m>=n,则肯定有环。

广度优先搜索(Breadth-First-Search)和深度优先搜索(Deep－First－Search)是搜索策略中最经常用到的两种方法,特别常用于图的搜索.其中有很多的算法都用到了这两种思想,如:Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法都采用了和宽度优先搜索类似的思想。

题目一：无向图，判断有无环。

算法：

（1）删除所有度为0或者1的顶点及相关的边，相关顶点度减一。

（2）将度数变为1的顶点排入队列，并从该队列中取出一个顶点重复（1）。

如果超过m+n步，还存在环，则有环。因为m步+n步足以将所有的顶点和边删除！

题目二：有向图，BFS/DFS以及拓扑排序法。

（1）关于BFS和DFS，可以看这个网址，有详细的使用例子http://blog.youkuaiyun.com/yousheng324/article/details/6767726

BFS的思想：
从一个图的某一个顶点V0出发，首先访问和V0相邻的且未被访问过的顶点V1、V2、……Vn，然后依次访问与V1、V2……Vn相邻且未被访问的顶点。如此继续，找到所要找的顶点或者遍历完整个图。
由此可以看出，用BFS进行搜索所搜索的顶点都是按深度进行扩展的，先找到到V0距离为1的所有顶点，然后找到距离V0为2的顶点……所以BFS所搜索到的都是最短的路径。
由于要将距离V0为d(d>0)的且未被方位的点都记录起来，我们采用队列这种数据结构。队列的特点是先进先出(FIFO)，从某个顶点出发，记此顶点已访问标记，然后依次搜索和此顶点相邻的且未被访问的顶点，将其加入队列，并置已访问标记，重复此步骤，直到找到需要搜索的顶点或者所有的顶点都被访问为止。

DFS的思想：
顾名思义，深度优先搜索所遵循的策略就是尽可能“深”的在图中进行搜索，对于图中某一个顶点V，如果它还有相邻的顶点（在有向图中就是还有以V为起点的边）且未被访问，则访问此顶点。如果找不到，则返回到上一个顶点。这一过程一直进行直到所有的顶点都被访问为止。 DFS可以搜索出从某一个顶点到另外的一个顶点的所有路径。 由于要进行返回的操作，我们采用的是递归的方法。

（2）关于拓扑排序：以下内容转自：http://blog.chinaunix.net/uid-20384806-id-1954187.html

对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
    　通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(TopoiSicai Order)的序列，简称拓扑序列。
  注意：
    　①若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。
    　②若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。
    　③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。

下面是Java实现：

package zieckey.datastructure.study.graph; /**  * 有方向图  *   * @author zieckey  */ public class DirectedGraph {     private final int    MAX_VERTS    = 20;     private Vertex[]    vertexList;        // array of vertices     private int[][]        adjMat;            // adjacency matrix     private int            nVerts;            // current number of vertices     private char[]        sortedArray;        // sorted vert labels     /**      * 默认构造函数 初始化邻接矩阵      */     public DirectedGraph( )     {         vertexList = new Vertex[MAX_VERTS];         sortedArray = new char[MAX_VERTS];         // 图的邻接矩阵adjacency matrix         adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS];         nVerts = 0;         for ( int j = 0; j < MAX_VERTS; j++ )         {             // set adjacency             for ( int k = 0; k < MAX_VERTS; k++ )             {                 adjMat[j][k] = 0;             }         }     }          /**      * 对有向图进行拓扑排序      *       * 无后继的顶点优先拓扑排序方法      * 1、思想方法      * 该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。      * 对于一个DAG，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。      * 因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。      * 若T是栈，则每当输出顶点时，只需做人栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。      * 若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。      */     public void nonSuccFirstToplogicalSort()     {         int orig_nVerts = nVerts;         while(nVerts>0)         {             int delVertex = getNoSuccessorVertex();             if ( -1 == delVertex )             {                 System.out.println("Error: This graph has cycles! It cannot be toplogical sorted.");                 return;             }                          sortedArray[nVerts-1] = vertexList[delVertex].label;             deleteVertex( delVertex );         }                  System.out.print("Topologically sorted order: ");         for(int j=0; j<orig_nVerts; j++)         {             System.out.print( sortedArray[j] );         }         System.out.println("");     }          /**      * 找到没有后继节点的节点      * @return      */     public int getNoSuccessorVertex()     {         boolean isEdge;          for ( int row = 0; row < nVerts; row++ )         {             isEdge = false;             for ( int column = 0; column < nVerts; column++ )             {                 if ( adjMat[row][column]>0 )//大于0，表明有边指向其他点，说明有后继节点                 {                         isEdge = true;                     break;                    //OK，继续下一个节点                 }             }                          if ( false == isEdge )//没有边，表明没有后继节点             {                 return row;             }         }         return -1;     }          /**      * 删除一个节点      * @param delVertex      */     public void deleteVertex( int delVertex )     {         if ( delVertex != nVerts-1 )//如果不是最后一个节点         {             //在节点列表中删除这个节点，所有后面的节点前移一格             for ( int i = delVertex; i < nVerts-1; i++ )             {                 vertexList[i] = vertexList[i+1];             }                          // 删除邻接矩阵的delVertex行和列，即所有后面的行和列都向前移动一格             // 所有delVertex行后的行，向上一个格             for ( int row = delVertex; row < nVerts - 1; row++ )             {                  for ( int column = 0; column < nVerts; column++ )                 {                     adjMat[row][column] = adjMat[row + 1][column];                 }             }                          // 所有delVertex列后的列，向左一个格             for ( int column = delVertex; column < nVerts; column++ )             {                  for ( int row = 0; row < nVerts - 1; row++ )                                 {                     adjMat[row][column] = adjMat[row][column+1];                 }             }         }                  nVerts--;//减少一个节点     }          /**      * 添加一个节点      *       * @param lab      */     public void addVertex( char lab ) // argument is label     {         vertexList[nVerts++ ] = new Vertex( lab );     }     /**      * 添加一条边      *       * @param start      * 起始点      * @param end      * 终点      */     public void addEdge( int start, int end )     {         adjMat[start][end] = 1;     }     /**      * 添加一条边      *       * @param start      * 起始点      * @param end      * 终点      */     public void addEdge( char startVertex, char endVertex )     {         int start = getIndexByLabel( startVertex );         int end = getIndexByLabel( endVertex );         if ( -1 != start && -1 != end )         {             adjMat[start][end] = 1;         }     }          /**      * 显示一个节点      *       * @param v      */     public void displayVertex( int v )     {         System.out.print( vertexList[v].label );     }     public int getIndexByLabel( char lable )     {         for ( int i = 0; i < vertexList.length; i++ )         {             if ( lable == vertexList[i].label )             {                 return i;             }         }         // 没有这个节点         return -1;     } }