半路算法之二项树与二项堆

最新推荐文章于 2022-10-20 14:35:37 发布

ds1231h

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分类专栏： C/C++ 文章标签：算法二项堆二项树 latex

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本文探讨了二项树的特性及其与二项式的联系，并介绍了如何利用这些树构建二项堆。二项堆是一种高效的数据结构，适用于实现最小优先队列。文章详细解释了二项堆的基本操作及其实现细节。

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半路算法之二项树与二项堆

秉承前文。前面提到过针对稀疏图时，以二项堆来作为最小优先队列是更为适宜的。这里记录一下学习二项堆的过程。

二项堆的名字来源于二项树。二项堆是多个二项树连在了一起。
二项树的名字来源于其 $B_n$ 棵树的元素个数为 $2^n$ ，且其深度n处恰有 $2^k$ 个节点，其性质与二项式非常吻合。此外，它还是一种递归定义的有序树。
重点依照二项式的性质说一下二项树的性质：

首先二项式定理的公式表示为：

(a + b) n = \sum r = 0 n c r n a n - r b r

$(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}c_n^ra^{n-r}b^r$
嗯，在二项树中我们将上式的a和b统统定位1。
那么二项树的第一个性质—— 共有 $2^k$ 个节点，便可以理解为上面二项式的值了；
我们假设 树的高度为r（即画出来的树有r行），在 其深度n处有 $C_n^k$ 个节点，其中i=0, 1, 2, …, k，理解为其二项式系数，嗯，刚好等于

Ckn $C_n^k$ ；
我们假设 根节点（这一行只有它自己，它没有兄弟姐妹节点）的度数为r，它 的度数是这棵二项树上最大的，而且其子女节点分别是它们（子女节点）相对应的子树的根（真有点拗口）

这些性质的证明基本就是二项式定理的证明（数学归纳法，亦即递归）了。这里不再展开。
依据性质1和3，我们知道如果一棵二项树的总结点数为n，那么其节点的最大度数为lgn。

接下来看二项堆。二项堆就是一些二项树把根节点连了起来。它和下一次要讨论的斐波那契堆称为可合并堆，它们支持以下五种操作：

make-heap()     --创建并返回一个不包含任何元素的新堆
insert(H, x)        --将节点x（有值）插入到堆H中
minimum(H)      --返回一个指向堆H中包含最小关键字的节点的指针
extract-min(H)  --将堆H中包含最小关键字的节点删除并返回指向该节点的指针
union(H1, H2)       --创建并返回一个包含堆H1和H2中所有节点的新堆，同时删除堆H1和H2

二项堆中的每个二项树遵循最小堆的性质,其节点的关键字（即节点的值）大于或等于其父节点的关键字。由于二项堆是有二项树拼起来的，其性质完全就是二项树的那些，不再进一步讨论了。

这里重点说说二项堆的函数实现：

新建一个二项堆
嗯，就是分配并返回了一个对象H，且head[H]=NULL，运行时间为O(1)

寻找最小关键字

伪代码
binomial-heap-minimum(H)

y <- NULL
x <- head[H]
min <- ∞
while x≠NULL
    do if key[x]<min
        then min <- key[x]
            y <- x

        x <- sibling[x]
return y

我们需要注意的是关键字只在二项树内排序
代码实现为：

while (x != NULL)
{
    if (x.key < min)
    {
        min = x.key;
        y = x;
        x = x.sibling;
    }
}
return y;

合并两个二项堆

伪代码
binomial-link(y, z)

p[y] <- z
sibling[y] <- child[z]
child[z] <- y
degree[z] <- degree[z]+1

代码实现为：

y.parent = z.child;
z.child = y;
z.degree++;

后面还有合并、插入、取得最小值、去掉最小值、删除某个值的操作。下一篇再写。
另：本篇公式采用MathJax引擎进行了latex公式编写，脚本为：

顺便推荐一下一篇很好的带有常用写法的latex介绍：
一份不太简短的 LATEX 2ε 介绍
星期六, 15. 四月 2017 10:37下午