高等工程数学（张韵华，汪琥庭，宋立功）—— 第一篇：线性代数

第一篇：线性代数

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第一章：矩阵和向量​

第1题和第5题类型点题了

1. 设 $A,B$ 是 3 阶方阵.已知 $|A|=-1,|B|=3,$ 则 $\left|\begin{array}{cr}2A& A\\ 0& -B\end{array}\right|=24$

   $=>|2A|\ast |-B|=2^3\ast |A|\ast (-1{)}^3|B|=8\ast (-1)\ast (-1{)}^3\ast 3=24$

2. 证明:不存在n阶实方阵$A,B$满足$AB-BA=I$

   n阶实方阵知道$n\ne 0$,

   如果$AB-BA=I,则n=tr(I)=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0$,矛盾。

3. 设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵, $\lambda \in \mathbf{R}.$ 证明 :
   (1) $(\lambda \mathbf{A}{)}^{\ast }={\lambda }^{n-1}{\mathbf{A}}^{\ast };$
   (2) $\det \left(A^{\ast }\right)=(\det (A){)}^{n-1}$

   （1）伴随矩阵由代数余子式构成，A乘以$\lambda$以后，代数余子式有公共系数${\lambda }^{n-1}$，故得证。

   （2）$A\ast A^{\ast }=|A|I_n$，求行列式，得到$|A|\ast |A^{\ast }|=|A{|}^n$，化简后得证。

4. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵. 证明:
   (1) 当 $A$ 可逆时, ${\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}={\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{-1},{\left(A^{-1}\right)}^{\ast }={\left(A^{\ast }\right)}^{-1};$
   (2) ${\left({\mathbf{A}}^{\ast }\right)}^{\mathrm{T}}={\left({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\right)}^{\ast }$

   (1) $A^{\top }\cdot {\left(A^{-1}\right)}^{\top }={\left(A\cdot A^{-1}\right)}^{\top }=E^{\top }=E$
   $A^T\cdot {\left(A^{\top }\right)}^{-1}=E$
   故 ${\left(A^{-1}\right)}^{\top }={\left(A^{\top }\right)}^{-1}$

   $A\cdot A^{\ast }=|A|E$
   $A^{-1}\cdot {\left(A^{-1}\right)}^{\ast }=\left|A^{-1}\right|\Rightarrow {\left(A^{-1}\right)}^{\ast }=A\cdot \left|A^{-1}\right|$
   $A^{\ast }=A^{-1}|A|{\left(A^{\ast }\right)}^{-1}=A|A{|}^{-1}=A\left|A^{-1}\right|$

   得证；

   （2） $A^{\ast }=|A|A^{-1}\Rightarrow {\left(A^{\ast }\right)}^{\top }=|A|\cdot {\left(A^{-1}\right)}^{\top }=|A^T|\cdot {\left(A^{\top }\right)}^{-1}={\left(\mid A^{\top }\mid \right)}^{\ast }$

5. 设 $A,B$ 为 3 阶矩阵，且 $|A|=3,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2.$ 计算 $\det \left(A+B^{-1}\right)$.

   $\begin{array}{rl}\left|\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}\right|& =\left|\mathbf{E}\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{E}\right|\\ & =\mid {(\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{B})\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}\left({\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{A}\right)|=|{\mathbf{B}}^{-1}\left(\mathbf{B}+{\mathbf{A}}^{-1}\right)\mathbf{A}\mid \end{array}$.

   $=\left|{\mathbf{B}}^{-1}\right|\cdot \left|\mathbf{B}+{\mathbf{A}}^{-1}\right|\cdot |\mathbf{A}|=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3$.

6. $设A,B为n阶方阵,且I-AB可逆.证明:I-BA也可逆$.

   令 $I-AB=E-AB$.
   $B\times (E-AB)=B-BAB=(E-BA)B$
   $\Rightarrow B=(E-BA)B(E-AB{)}^{-1}$

   $E-BA(代入B)$.
   $=E-[(E-BA)B(E-AB{)}^{-1}]A$.

   移项：$E-BA+[(E-BA)B(E-AB{)}^{-1}]A=E$

   提取$E-BA$,得到：$(E-BA)(E+B(E-AB{)}^{-1}A)=E$.

   证得$E-BA可逆$.