数理统计之排列组合

最新推荐文章于 2021-01-01 00:25:42 发布

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本文深入探讨了计数的基本法则，包括实验结果的乘法规则，排列与组合的概念及其计算公式，以及组合恒等式的应用。通过这些基础知识，读者可以更好地理解离散数学中的概率与统计原理。

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1.计数基本法则：

假设有两个实验，其中实验1有m种可能的结果，对应于实验1的每一个结果，实验2有n种可能的结果，则这两个实验一共有mn种可能的结果。

2.推广的计数基本法则

总共一共有r种实验，实验1有 $n_{1}$ 种可能的结果，对应于实验1中的每一种可能的结果，试验2有 $n_{2}$ 种可能的结果，试验3有 $n_{3}$ 种可能的结果……，那个这r个实验一共有 $n_{1}n_{2}……n_{r}$ 种可能的结果。

3.排列

n个元素，一共有 $n!$ 种排序的可能,这个是考虑顺序的，从 n 个元素中任取 r 个，则一共有 $n!(n−r)!\frac{n!}{(n-r)!}$ 种可能的结果，即
$Pnr=n!(n−r)!=n(n−1)……(n−r+1)P^{r}_{n}=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)……(n-r+1)$

全排列： $P_{n}=n!$

注意： 0!=1

4.组合

排列考虑顺序，而组合不考虑顺序，也就是说，从n个元素中取r个排成一排，一共有 $n (n - 1) \dots \dots (n - r + 1)$ 种不同的方式，组成不同组的数目是：
$Cnr=(nr)=n!(n−r)!r!=Pnrr!C^r_{n}= \left ( \begin{matrix} n \\ r \end{matrix} \right )=\frac{n!}{(n-r)!r!}=\frac{P^{r}_{n}}{r!}$

组合恒等式：

$\left ( \begin{matrix} n \\ r \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} n-1 \\ r -1 \end{matrix} \right )+ \left ( \begin{matrix} n-1 \\ r \end{matrix} \right )$