数字逻辑与计算机基础 ---逻辑关系描述

逻辑关系描述

每一个输入组合都有一个确定的输出值，每个逻辑函数都有一组确定的输出
两个输入变量对应16个真值表
两个输入变量有 2²种输入，对应2²^²种真值表

波形图

描绘输出变量对于输入变化所产生的响应(相当于真值表的另外一种表示方式)

逻辑函数的标准表示

• 乘积项
  包含一个或以上的逻辑变量的与项e.g X X·Y
• 求和项
  包含一个或以上的逻辑变量的或项e.g X X+Y
• 与-或表达式(积之和SOP)
  X·Y+Y
• 或-与表达式(和之积POS)
  (A+B)·X

标准乘积项(标准求和项)

每个变量出现且仅出现一次,n个变量的标准项共有 2ⁿ个
每一个标准乘积项只有一个乘积项输出为一，只有一个求和项输出为0
标准乘积项 -》 最小项 标准求和项 -> 最大项

最小项列表/标准和:函数变成输出为1的最小项之和$\sum m(1,2,3)$
标准积/最大项列表:函数输出为0的最大项之积$\prod M(2,3,4)$
对应输入变量个数的二进制位数
如三个输入变量由三位二进制数表示

化简

代数法

利用布尔代数公理定理,消去多余的乘积项或多余的因子,如果层数超过两级,先转换为两级

技巧:

最小项可以多次使用

缺点

技巧性很强没有一定的规律和步骤.难以判断结果是不是一定最简。

卡诺图法

n个变量的卡诺图是一个含有2²个单元的矩阵图
每一行和每一列的编号对应对应逻辑变量的输入组合,0表示反变量,1表示原变量,编号按照格雷码的顺序排列,相邻编号只有一位不同
根据格雷码的规则空间位置相邻的小方格具有逻辑相邻性
每一个单元格对应一个最小项

¹

行列可以互换

卡诺图原理

卡诺图中相邻的两项只有一个位不同,如果他们都是1那么既有正变量又有反变量可以消去

卡诺图使用方法

圈起来有相邻的一圈起来的是2的幂次方个,保留相同的项,消去不同的项,参考上面的图片

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1. 参考了知乎冰糖雪阳的复习笔记 ↩︎