ACM算法总结 动态规划（二）（dp优化）

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线段树优化dp

当递推的时候，整个区间的变化都是一样的，就可以考虑用线段树加速dp递推。

单调队列优化dp

对于某一个 i 进行 dp 时，其左边的最优决策点假如是 j，如果 j 随着 i 的增长是单调递增的，那么可以用单调队列优化：队首是最优决策点，然后每次把不符合条件的队首弹出，把更劣的队尾弹出，然后把当前决策点加入队尾。这样保证每个点入队一次出队一次，复杂度为 $O(n)$ 。

• 比如对于这道题 烽火传递 ：

有 n 个烽火台，每个烽火台点亮的代价为 a[i]，连续 m 个烽火台至少要有一个点亮，问最小代价。

设 $f_i$ 表示点亮第 i 个烽火台的最小代价，显然有 $f_i=\underset{j\ge i-m}{\min }{f}_j+a_i$ 。而且这里的 j ，也就是决策点， 一定是单调递增的，因为如果存在一个地方是递减的，那么之前的那个 i 做决策时也应该选择这一个 j，而不应该选择更大的 j 。或者可以这样想：j 越大说明后面的选择越宽裕，而优先队列维护的是对于当前的 i 合法的决策点，更新这个队列时把更劣的踢出去，然后把 $f_i$ 加入队尾。

观察这个式子 $f_i=\underset{j\ge i-m}{\min }{f}_j+a_i$ 可以发现，对于每个 i 它的决策点 j 只作用于左边那一块，右边的 $a_i$ 不受 j 影响，这是为什么可以用单调队列优化的原因。

分治优化dp

如果右边的 $a_i$ 变成了 $a(i,j)$ ，单纯地单调队列就优化不了了，因为 a 这一部分处于不断变化之中。对于这种情况： f i = min ⁡ 0 ≤ j < i { g j + a ( i , j ) } f_i=\min\limits_{0\le j<i}\{g_j+a(i,j)\} fi​=0≤j<imin​{ gj​+a(i,j)} ，而且满足决策单调性，要么用二分栈，不过我更喜欢用分治去做。

因为满足决策点调性，假如当前我要处理的是 $f[l,...,r]$，并且可能的决策区间为 $[L,R]$ ，那么我们可以定义一个 $mid=(l+r)/2$，然后在 $[L,$