随笔系列之 交叉熵(cross entropy) and KL divergence

本文探讨了交叉熵和KL散度的概念及其在机器学习中的应用。交叉熵被用作损失函数,衡量模型预测与真实分布之间的差异;KL散度则量化了两个概率分布间的差异。文章还讨论了二者的关系及应用场景。

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有关交叉熵Cross Entropy 与KL 散度的一点点

cross entropy

我相信了解过机器学习的基本算法的人没有不知道交叉熵这个东西的;通常,我们在机器学习的模型训练中会使用交叉熵作为我们损失函数 log loss. 但是,我们可能大概的理解,只要这个交叉熵损失函数越小,我们的模型就会越准确,似乎是意见很神奇的事情;如果理解的多一点的可能会从其表达式来理解,比如:二分类问题的交叉熵:ylog(p)(1y)log(1p)−ylog(p)−(1−y)log(1−p),直观的感受告诉我们:如果是正类那么显然p越大这个损失函数值越小;如果是反类,那么显然p越小,1-p越大,损失函数值越小;所以,可以从直觉上去解释这个损失函数为什么会work.

但是除此之外交叉熵还有别的物理意义吗? 答案是肯定的!

下面我打算简单聊聊交叉熵的物理意义:


  • 谈及交叉熵,必然离不开熵的定义H(p)=plog(p)H(p)=∑plog(p),其所表达的是p所描述的数据的分布的杂乱程度,但是从另一个角度来说,其所表达的是编码p所需要传递的message所需要的bits数;对于概率较高的很明显应该给予较短的编码以便较少信息传递总量;
  • OK,那么交叉熵cross entropy,通常使用H(p,q)来表达,表示使用q分布的编码来编码来自q的message所需要的平均bits数.这里我们可以想象q是一个optimal coder,可以给出对p更好的编码,当然q本身的熵所传达的是最少的bits;从信息传输这个角度来说,交叉熵大概就有这样的含义;

进一步的思考:事实上这个q就是我们在构建的学习模型,我们的目标当然是为了学习目标数据的真实分布,但是当下的目标是学习数据的经验分布也就是学习给定的训练集上分布;因此我们的目标也就是为了让q更接近p;交叉熵此刻就可以这么理解:
我们的目标是使得交叉熵H(p,q)最小,当然是在p给定的情况下;按照之前所说,这里,交叉熵也就表达了如果用我们的模型估计q来描述p的话,他的熵为多少;显然,不会比原本的数据本身固有的熵小,因此,使得交叉熵最小,最终也就是达到了使得q更接近p的目的!

KL散度

关于KL散度的定义,其实很简单了,基本形式为KL(p|q)=H(p,q)H(p)KL(p|q)=H(p,q)−H(p),其中H(p,q)=plog(q)H(p,q)=∑plog(q).H(p)定义如上.


  • KL散度是不对称的也就是KL(p|q) != KL(q|p)
  • 由其表达式可知,KL散度等于交叉熵与原数据熵的差.

从message传输的角度来看,KL散度表达的就是如果使用q的分布的code来描述或者编码从p中取出的数据,所带来的额外bits开销.

关于cross entropy和KL divergence之间的区别与联系

由这两者的表达式可以很清晰的看出两者之间的联系.下面从实际应用的角度来说明一下两者的使用场景的差异(机器学习):
在机器学习的模型优化策略损失函数的选择时,可以使用cross entropy,在这种情况下p是数据的经验分布,因此p是不变的constant;在这种情况下,KL散度中的p是不变的,因此后面的-H(p)的常量,因此,优化这两个目标是等价的. 但是如果p是变化的,那么这两者显然就不一样了.因此在未知p的情况下,想要让q去近似p,可以使用KL度量两个分布之间的距离.作为优化目标.

For Now,以上.

<think>好的,用户想了解CLIP算法中的损失函数以及如何用交叉熵实现它。首先,我需要回忆一下CLIP的基本原理。CLIP是Contrastive Language-Image Pretraining的缩写,主要目的是将图像和文本映射到同一个嵌入空间,使得配对的图像和文本具有高相似度。损失函数应该是用来衡量这种对齐效果的。 接下来,关于损失函数的具体形式。CLIP使用的是对比损失,可能涉及到两个方向的交叉熵:图像到文本和文本到图像。每个batch中的图像和文本会被编码成嵌入向量,然后计算相似度矩阵。这里的相似度通常用点积或者余弦相似度表示。然后,对每张图像,计算其与所有文本的相似度,使用交叉熵损失让正确配对的文本概率最大化。同样,对每个文本,也计算其与所有图像的相似度,同样使用交叉熵。最终损失是两个方向损失的平均。 然后,如何用交叉熵实现这一点。需要将相似度矩阵视为logits,然后对每个图像和对应的文本标签应用交叉熵损失。可能需要用到矩阵操作,比如对行和列分别计算softmax和交叉熵。PyTorch中的交叉熵函数已经整合了softmax,所以可以直接使用。 用户可能还关心实现细节,比如温度参数的作用,是否需要归一化,以及如何处理大批次的情况。温度参数用来缩放相似度,帮助模型学习更合适的分布。归一化通常指对嵌入向量进行L2归一化,这样点积就等同于余弦相似度,避免数值不稳定。 另外,需要参考提供的引用资料。虽然引用中并没有直接提到CLIP,但引用[2]提到反向传播和神经网络的收敛,可能和损失函数的优化有关。引用[4]讨论误差类型,可能在训练过程中需要考虑不同误差的影响。不过CLIP的具体实现可能不在这些引用范围内,所以回答时需要主要依赖已有的知识,并适当引用相关内容作为补充。 最后,生成相关问题时要围绕CLIP的损失函数、对比学习、温度参数、实现优化等方面展开,确保问题具有连贯性和延伸性,帮助用户深入理解。</think>### CLIP算法中的损失函数及交叉熵实现 CLIP(Contrastive Language-Image Pretraining)通过对比学习实现图像与文本的跨模态对齐,其核心损失函数基于对称交叉熵构建。以下是关键实现步骤: 1. **嵌入向量生成** - 图像编码器输出图像嵌入矩阵 $I \in \mathbb{R}^{N \times d}$ - 文本编码器输出文本嵌入矩阵 $T \in \mathbb{R}^{N \times d}$,其中 $N$ 为批次大小,$d$ 为嵌入维度 2. **相似度矩阵计算** 对嵌入向量进行L2归一化后计算余弦相似度: $$S = I \cdot T^T \quad \text{其中} \quad S_{ij} = \frac{I_i \cdot T_j}{\|I_i\|\|T_j\|}$$ 引入可学习的温度参数 $\tau$ 缩放相似度[^2] 3. **对称交叉熵损失** - **图像到文本方向**: $$\mathcal{L}_{i2t} = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \log\frac{\exp(S_{ii}/\tau)}{\sum_{j=1}^N \exp(S_{ij}/\tau)}$$ - **文本到图像方向**: $$\mathcal{L}_{t2i} = -\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \log\frac{\exp(S_{ii}/\tau)}{\sum_{j=1}^N \exp(S_{ji}/\tau)}$$ 最终损失为 $\mathcal{L} = (\mathcal{L}_{i2t} + \mathcal{L}_{t2i})/2$ **PyTorch实现示例**: ```python import torch import torch.nn as nn class CLIPLoss(nn.Module): def __init__(self, temperature=0.07): super().__init__() self.temp = temperature self.cross_entropy = nn.CrossEntropyLoss() def forward(self, image_emb, text_emb): # 归一化嵌入向量 image_emb = nn.functional.normalize(image_emb, dim=-1) text_emb = nn.functional.normalize(text_emb, dim=-1) # 计算相似度矩阵 logits = (image_emb @ text_emb.T) / self.temp # 构建标签(对角线为匹配对) labels = torch.arange(logits.shape[0], device=image_emb.device) # 计算双向损失 loss_i2t = self.cross_entropy(logits, labels) loss_t2i = self.cross_entropy(logits.T, labels) return (loss_i2t + loss_t2i) / 2 ``` 关键实现要点: 1. **温度参数作用**:控制相似度分布的尖锐程度,初始值通常设为0.07 2. **批量负采样**:利用批次内所有非配对样本作为负例[^4] 3. **梯度传播**:通过对称损失确保双编码器的同步优化
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