C++ AVL树——主要包括：《AVL树的介绍》《节点的定义》《AVL树的插入（左右单旋 + 双旋）》《AVL树的实现代码》《AVL树的性能》

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本文从二叉搜索树的不足引出AVL树，介绍了AVL树的性质、节点定义、插入操作及旋转方式，给出了AVL树的完整实现代码和测试数据。同时分析了AVL树的性能，指出其查询高效但结构修改操作性能低下，还提及后续将学习红黑树。

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上一篇博客的内容——《二叉搜索树的链接》

在前面，我们已经实现过了过了搜索二叉树，但是搜索二叉树还是有很多不足之处，要我们考虑，所以我们像现在实现起来是要容易操作的树，所以，下来，我们就开始了另外一棵树——AVL树。

不足之处：《二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。》

《一》AVL树的介绍
AVL树的性质：

它的左右孩子都是AVL树，
左右孩子高度差的绝对值不超过1（1 / 0 / -1）——高度差《平衡因子》

在这里插入图片描述
我们可以通过AVL树的性质，来判断一下，上面的树是AVL树吗？

当然，很明显，这是一个AVL树，不仅仅是看树，就看平衡因子，就可以看出，这棵树是符合AVL树的性质的。

《二》AVL树节点的定义
1. AVL树节点的定义：

 template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;   //节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right; //节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父亲
	int _bf;         //平衡因子
	pair<K, V> _kv;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
	{}
};

《三》AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树，，那么AVL树过程可以分为两个部分，

第一部分：是按照二叉搜索树的方式进行插入新节点
在这里，我们先讲一下思路：首先，我们先根据二叉搜索的规则将节点插入到AVL树中，当我们把节点插入进去之后，里面的平衡因子，肯定是发生变化的 ，所以我们接下来是要更新平衡因子，如果插入进去之后，平衡因子没有发生变化，那就不用在做什么了，但是如果我们发现有的地方平衡因子已经达到 | 2 |了，那么我们就要使平衡因子变化到 | 1 / 0 |之间，我们应该怎么样做？那么我们就会想到，旋转树，使它再次达到平衡。

那怎么样旋转树呢？
那还是要判断，如果插入的位置不同，那么旋转的位置也是不同的，首先，我们先看一下，在这里，我先是把图解方案写出来，然后，我们再把实现的代码，和完整代码写在一起，一起分析。

1. 当插入左树的时候，我们先使用，右单旋，将树平衡。
在这里插入图片描述
2. 当新节点插入在右数的时候，我们使用左单选，将树平衡。

3. 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

4. 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
接下来，我们总结一下：

假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

《四》AVL树的实现

通过我们对上面旋转的分析，现在我们就要实现AVL树的完整代码。

#pragma once
#include<iostream>

using namespace std;
#include<map>
#include<set>
#include<windows.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;
	pair<K, V> _kv;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
		, _kv(kv)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	AVLTree()
		:_root(nullptr)
	{}

	~AVLTree()
	{
		DestoryTree(_root);
		_root = nullptr;
	}

	void DestoryTree(Node* root)//销毁树
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		DestoryTree(root->_left);
		DestoryTree(root->_right);
		delete root;
	}

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;//保存需要插入节点的上一个节点
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)//如果插入的值比当前节点的值小，就走左子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)//如果插入的值比当前节点的值大，就走右子树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;//说明节点已经存在
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)//判断当前cur节点应该链在上一个节点的哪边
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;//这里是三叉链，一定要链起来
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}

		while (parent)//当parent为nullptr时不再更新
		{
			if (cur == parent->_right)//跟新平衡因子
				parent->_bf++;
			else
				parent->_bf--;

			if (parent->_bf == 0)//满足规则，结束
			{
				break;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)//高度变了，继续跟新
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)//不满足规则，需要旋转
			{
				if (parent->_bf == 2)
				{
					if (cur->_bf == 1)//树呈 \ 状
					{
						RotateL(parent);
					}
					else if (cur->_bf == -1)//树呈 > 状
					{
						RotateRL(parent);
					}
				}
				else if (parent->_bf == -2)
				{
					if (cur->_bf == -1)//树呈 / 状
					{
						RotateR(parent);
					}
					else if (cur->_bf == 1)//树呈 < 状
					{
						RotateLR(parent);
					}
				}
				//旋转完成,不会影响上一层
				break;
			}
			else
			{
				//出现这种情况说明平衡因子错误
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

	void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		parent->_left = SubLR;
		if (SubLR)
		{
			SubLR->_parent = parent;
		}
		SubL->_right = parent;
		Node* pNode = parent->_parent;
		parent->_parent = SubL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = SubL;
		}
		else
		{
			if (pNode->_left == parent)
			{
				pNode->_left = SubL;
			}
			else
			{
				pNode->_right = SubL;
			}
		}
		SubL->_parent = pNode;
		parent->_bf = SubL->_bf = 0;
	}

	void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		parent->_right = SubRL;
		if (SubRL)
		{
			SubRL->_parent = parent;
		}
		SubR->_left = parent;
		Node* pNode = parent->_parent;//记录当前parent的父亲节点，以便让SubR指向当前parent的父亲节点
		parent->_parent = SubR;
		if (_root == parent)
		{
			_root = SubR;
		}
		else
		{
			if (pNode->_left == parent)
			{
				pNode->_left = SubR;
			}
			else
			{
				pNode->_right = SubR;
			}
		}
		SubR->_parent = pNode;
		parent->_bf = SubR->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
	{
		Node* SubL = parent->_left;
		Node* SubLR = SubL->_right;
		int bf = SubLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		if (bf == 1)
		{
			SubL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			SubL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = SubL->_bf = 0;
		}
		SubLR->_bf = 0;
	}

	void RotateRL(Node* parent) //右左双旋
	{
		Node* SubR = parent->_right;
		Node* SubRL = SubR->_left;
		int bf = SubRL->_bf;//记录右左双旋之前SubRL的平衡因子

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		if (bf == 1)
		{
			SubR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			SubR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)//说明我自己就是刚刚插入的节点
		{
			parent->_bf = SubR->_bf = 0;
		}
		SubRL->_bf = 0;
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}

	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_Inorder(root->_right);
	}

	bool IsBlanace()//判断树是否为平衡树
	{
		return _IsBlanace(_root);
	}

	bool _IsBlanace(Node* root)   //判断平衡
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}
		return abs(leftHeight - rightHeight) < 2 && _IsBlanace(root->_left) && _IsBlanace(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)//求树的高度
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
	}
private:
	Node* _root;
};

再看看测试代码，

void TestAVLTree()
{
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
	{
		cout << "Balance:" << t.IsBlanace() <<"->"<< e << endl;
		t.Insert(make_pair(e,e));
	}
	cout << "Balance:" << t.IsBlanace() << endl;
	t.Inorder();

}

这都是我测试过的代码，直接可以用，使用时，直接用main函数调用TestAVLTree()这个函数就可以使用了。

我们再看一下测试结果。
在这里插入图片描述

上面就是我们写的完整的AVL树实现代码，但是，如果有的同学自己实现了，那么我在给两组数据，都通过了话，说明就实现的没有问题了：

第一组数据：{ 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
第二组数据：{ 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 }；

《五》AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2 N。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

虽然AVL树比二叉搜索相比较，比较有优势，但是还不是最优的解决方案，所以下面，我们还要学习到一种数据结构，——红黑树。