隐马尔可夫模型问题一：求模型观测序列的概率

背景

隐马尔可夫模型关注的三个问题中，第一个是求模型观测序列的概率。

暴力求解

已知HMM模型的参数$\lambda =[\mathbf{A},\mathbf{B},\pi ]$， $\mathbf{A}$是隐藏状态转移概率矩阵，$\mathbf{B}$是观测状态概率矩阵。对于隐藏状态的初始概率分布记作$\pi$。已知观测序列O={o1,o2,⋯ ,oi,⋯ ,oM}O = \{ {o_1},{o_2}, \cdots ,{o_i}, \cdots ,{o_M}\}O={o1​,o2​,⋯,oi​,⋯,oM​}，现在我们需要求出$P(O|\lambda )$出现的条件概率。首先已经知道 $\mathbf{B}$ ，即隐藏状态到观测状态的概率，已经知道 $\mathbf{A}$，即隐藏态之间的转移概率。然后，我们可以直接使用暴力求解的方式。暴力求解过程如下所示：
（1） 任意隐藏序列出现的概率表示为：
$$P(I|\lambda )={\pi }_{i_1}{a}_{i_1{i}_2}{a}_{i_2{i}_3}\cdots a_{i_{T-1}{i}_T}$$
（2） 已知隐藏序列，求观察序列的概率，表示为：
$$P(O|I,\lambda )=b_{i_1}(o_1)b_{i_2}(o_2)\cdots b_{i_T}(o_T)$$
（3） 隐藏序列和观察序列的联合概率表示为：
$$P(O,I|\lambda )=P(I|\lambda )P(O|I,\lambda )={\pi }_{i_1}{b}_{i_1}(o_1)a_{i_1{i}_2}{b}_{i_2}(o_2)\cdots a_{i_{T-1}{i}_T}{b}_{i_T}(o_T)$$
（4） 求边缘概率分布，即观测序列$O$在模型$\lambda$下的概率。
$$P(O|\lambda )=\sum _{I}P(O,I|\lambda )=\sum _{i_1,i{}_2,\cdots ,i_T}{\pi }_{i_1}{b}_{i_1}(o_1)a_{i_1{i}_2}{b}_{i_2}(o_2)\cdots a_{i_{T-1}{i}_T}{b}_{i_T}(o_T)$$
暴力求解的方法仅仅适用于隐藏状态极少的模型，如果隐藏状态过多，会导致计算量非常的庞大， 隐藏状态是未知的，需要考虑所有的隐藏状态。状态数为$M$，那么将会有$M^T$时间的复杂度， $T$表示隐藏序列的长度。总的时间复杂度为$T{M}^T$。

前向算法求HMM观测序列概率

前向算法的本质是属于动态规划，通过子问题找到全局的最优解，子问题在这里被称为局部状态。对于前向算法，局部状态为前向概率，前向概率指给定时刻下从隐藏态到观察态的概率。 定义$t$时刻的隐藏状态的前向概率为：
$${\alpha }_1(i)={\pi }_i{b}_i(o_1),i=1,2,\cdots ,N$$
然后，递推$t+1,t+2,\cdots ,T$时刻的概率：
$${\alpha }_{t+1}(i)=\left[\sum _{j=1}^N{\alpha }_t(j)a_{ji}\right]b_i(o_{t+1}),i=1,2,\cdots ,N$$
最后，计算观测序列在给定模型下的概率：
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{\alpha }_T(i)$$

前向算法求解实例

给定三个盒子，每个盒子里面都有两种颜色的球，分别为红色和白色。三个盒子中，球的数量分别是：

盒子名称	1号盒子	2号盒子	3号盒子
红色球数量	5	4	7
白色球数量	5	6	3

从不同的盒子中取球，并且从1号盒子取球的概率为0.2，从2号盒子取球的概率是0.4，从3号盒子取球的概率是0.4， 总体概率为1。 即初始的状态分布：
$$\prod =(0.2,0.4,0.4{)}^T$$
其次，状态转移概率矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0.5& 0.2& 0.3\\ 0.3& 0.5& 0.2\\ 0.2& 0.3& 0.5\end{array}\right)$$
观测状态概率矩阵为：
$$\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0.5& 0.5\\ 0.4& 0.6\\ 0.7& 0.3\end{array}\right)$$
求解问题，给定观测序列{红，白，红}，求出这个观测序列的概率是多少？
具体求解过程如下所示：
（1） 在第1时刻观察到红色球，此时计算三个状态的前向概率：
盒子1的前向概率：
$${\alpha }_1(1)={\pi }_1{b}_1(o_1)=0.2\times 0.5=0.1$$
盒子2的前向概率：
$${\alpha }_1(2)={\pi }_2{b}_2(o_1)=0.4\times 0.4=0.16$$
盒子3的前向概率：
$${\alpha }_1(3)={\pi }_3{b}_3(o_1)=0.4\times 0.7=0.28$$

（2） 依据递推式，递推第2时刻三个状态的前向概率，观察为白色球，
盒子1的前向概率：
$${\alpha }_2(1)=\left[\sum _{i=1}^3{\alpha }_1(i)a_{i1}\right]b_1(o_2)=[0.1\ast 0.5+0.16\ast 0.3+0.28\ast 0.2]\times 0.5=0.077$$

盒子2的前向概率：
$${\alpha }_2(2)=\left[\sum _{i=1}^3{\alpha }_1(i)a_{i2}\right]b_2(o_2)=[0.1\ast 0.2+0.16\ast 0.5+0.28\ast 0.3]\times 0.6=0.1104$$

盒子3的前向概率：
$${\alpha }_2(3)=\left[\sum _{i=1}^3{\alpha }_1(i)a_{i3}\right]b_3(o_2)=[0.1\ast 0.3+0.16\ast 0.2+0.28\ast 0.5]\times 0.3=0.0606$$

（3） 依据递推式，递推第3时刻三个状态的前向概率， 观察为红色球，
盒子1的前向概率：
$${\alpha }_3(1)=\left[\sum _{i=1}^3{\alpha }_2(i){\alpha }_{i1}\right]b_1(o_3)=[0.077\ast 0.5+0.1104\ast 0.3+0.0606\ast 0.2]\times 0.5=0.04187$$
盒子2的前向概率：
$${\alpha }_3(2)=\left[\sum _{i=1}^3{\alpha }_2(i){\alpha }_{i2}\right]b_2(o_3)=[0.077\ast 0.2+0.1104\ast 0.5+0.0606\ast 0.3]\times 0.4=0.03551$$

盒子3的前向概率：
$${\alpha }_3(3)=\left[\sum _{i=1}^3{\alpha }_3(i){\alpha }_{i3}\right]b_3(o_3)=[0.077\ast 0.3+0.1104\ast 0.2+0.0606\ast 0.5]\times 0.7=0.05284$$
最终，我们求出观测序列为{红，白，红}的概率为：
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^3{\alpha }_3(i)=0.13022$$

后向算法求HMM观测序列概率

后向算法求HMM观测序列的概率和前向算法求HMM观测序列的概率是相似的。它们之间的区别主要在动态规划的递推式恰好是相反的。
定义$t$时刻的隐藏状态的前向概率为：
$${\beta }_T(i)=1,i=1,2,\cdots ,N$$

然后，递推$T-1,T-2,\cdots ,1$时刻各个隐藏状态的后向概率：
$${\beta }_t(i)=\sum _{j=1}^N{a}_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j),i=1,2,\cdots ,N$$

最后，计算观测序列在给定模型下的概率:
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{\pi }_i{b}_i(o_1){\beta }_1(i)$$