数据结构笔记：二叉树的非递归遍历

二叉树是一种重要的数据结构，在排序、信息编码、表达式转化等方面有着重要的作用。由于本人之前已在此平台中发布了有关二叉树递归遍历算法的文档（链接见下），所以本篇博客本人主要讲述二叉树的非递归遍历算法。
二叉树的递归遍历与相关统计

非递归遍历的基本原理

对递归调用有了初步了解的读者就会知道，任何递归调用无论时间空间复杂度如何，都需要使用到栈这一数据结构。递归的过程是不仅仅是一个函数自身调用自身的循环过程，本质上说，应该是一个回溯之后再还原的过程：回溯的阶段，函数要不断保存每一次递归的信息，以便在之后的还原过程中，一步步通过每一次递归的信息，找到最初的状态，最终求得问题的答案… 可以发现，回溯过程中最后一次保存的递归的信息，往往是还原过程中第一步要读取的信息… 依照这个规律推导下去，就不难发现，递归的实现要用到栈（越晚入栈的递归信息，在还原时越先被访问）。

上面的解释可以说明，非递归遍历二叉树的算法中，一定要用到栈这一数据结构。依照根结点遍历的顺序，元素入栈出栈的顺序会有所不同。

非递归遍历的算法

为了方便算法的设计与分析，本人用二叉链表的方式表示一棵二叉树，仍然用递归的方式，创建一棵二叉树，其对应的代码段如下（C++）：

class tNode{
public:
	char		ch;
	tNode		*lchild;
	tNode		*rchild;
};

tNode *initTree(){	
	tNode		*root;
	char		ch;
	scanf("%c", &ch);

	if(ch=='#')
		root = NULL;				//输入‘#’说明此时创建的这个结点是一个空结点
	else{
		root = new tNode;
		root->ch = ch;
		root->lchild = initTree();
		root->rchild = initTree();
	}
	return root;
}

下面就前序、中序和后序遍历的三大模式，给出对应的算法。

前序遍历（DLR）

1. 先判断二叉树是否为空树，不是空树时，定义一个tNode 的指针node指向根结点；
2. 打印输出node->ch；
3. 若node->rchild不为空，则将node->rchild入栈；
4. node = node->lchild，若node不为空，跳转到2，否则跳转到5；
5. 退栈直到node->rchild不为空为止，转2，直到栈为空为止。

上面是算法描述看似很复杂，但实际上大的动作无外乎五个：结点值打印输出、右子树入栈、转左子树、退栈、转右子树。其中，第一二三个操作可以在一个循环内进行，而退栈操作，要单独使用一个if-else语句。核心的代码部分，是一个大循环中嵌套一个子循环和if-else的结构。

函数源码：

void DLR(tNode *root){
	
	stack<tNode *> s_tree;
	tNode		*node = root;
	
	while(node || !s_tree.empty()){
		
		while(node){
			cout << node->ch << " ";
			s_tree.push(node);
			node = node->lchild;
		}
		if(!s_tree.empty()){
			node = s_tree.top();
			s_tree.pop();
			node = node->rchild;
		}
	}
}

中序遍历（LDR）

1. 先判断二叉树是否为空树，不是空树时，定义一个tNode 的指针node指向根结点；
2. 若node不为空，则node入栈，node=node->lchild;
3. 若node为空，则退栈直到node->rchild不为空，访问node所指的结点；
4. node=node->rchild，转2，直到栈空为止。

以上的算法描述和DLR有着相似之处，只是三大步骤的顺序不同罢了，LDR的三大步骤顺序为右子树入栈、结点访问、转左子树、出栈、转右子树。在代码中，应该注意的要点也和DLR一样。

函数源码：

void LDR(tNode *root){
	
	stack<tNode *> s_tree;
	tNode		*node = root;
	
	while(node || !s_tree.empty()){
		while(node){
			s_tree.push(node);
			node = node->lchild;
		}
		if(!s_tree.empty()){
			node = s_tree.top();
			s_tree.pop();
			cout << node->ch << " ";
			node = node->rchild;
		}
	}
}

后序遍历（LRD）
后序遍历的算法在空间复杂度上比DLR与LRD要复杂，主要在于要引入标志栈s_tag，来存储各个结点的访问状态。

1. 引入一个bool类型的标志栈s_tag，用于存储结点栈中结点的访问信息;
2. 先判断二叉树是否为空树，不是空树时，定义一个tNode 的指针node指向根结点；
3. 若node不为空，则node入栈，并在s_tag中入栈一个false，node=node->lchild;
4. 若node为空，则进入退栈的循环（s_tag和s_node同时退栈），退栈的条件是：node->rchild为空，或node对应在s_tag中的状态为true；停止退栈的条件是：node->rchild为空，且node对应在s_tag中的状态为false，当遇到这种情形时，还要将s_tag中栈顶的元素改为true；
5. node=node->rchild，转3，直到栈空为止。

由于LRD算法涉及两个栈的使用，所以这里再说一下代码的基本结构。
从上面的算法描述，可以将LRD算法分为三个步骤，分别为左子树入栈、s_node与s_tag退栈、修改s_tag栈顶元素、转换到右子树。其中，左子树入栈单独使用一个循环、s_node与s_tag退栈和修改s_tag栈顶元素使用一个循环，这两个循环嵌套到一个大循环里，其中第二个循环内使用if条件判断语句，作为循环结束的条件。

函数源码：

void LRD(tNode *root){
	
	stack<tNode *> s_node;
	tNode			*node = root, *bottom;
	stack<bool>		s_tag;
	
	if(!root);
	else{
		do{
			for(; node; node = node->lchild){
				s_node.push(node);
				s_tag.push(false);
				if(s_node.size() == 1)
					bottom = node;
			}
			
			while(1){
				node = s_node.top();
				if(!node->rchild || s_tag.top()){
					cout << node->ch << " ";
					s_node.pop();
					s_tag.pop();
					if(node == bottom)
						break;
				}
				else{
					s_tag.pop();
					s_tag.push(true);
					break;
				}
			}
			
			node = node->rchild;
			
		}while(!s_node.empty());
	}
}

本人在写这个程序的时候，犯了一个错误，就是第二个循环中少写了一个循环结束的条件（node==bottom），后来本人才弄明白，当最后一个元素（即根结点）出栈后，内层循环未能退出，导致栈空之后又执行了s_node.top()的语句，从而程序发生了异常，所以出错了。这也是本人引入bottom这个变量的理由。

层次遍历（level order）
层次遍历也是一种二叉树的遍历方式，此方式的实现与之前的三种方式有很大区别，不需要使用栈，但是需要使用队列。

1. 先判断二叉树是否为空树，不是空树时，定义一个tNode 的指针node指向根结点，node入队列；
2. node指向此时的队首元素，打印输出node的信息；
3. 此时队列中的队首元素出队；
4. 若node->lchild不为空，node->lchild入栈；若node->rchild不为空，node->rchild入栈；
5. 转2，直到队列为空。

上述描述的算法比较简单，这里直接给出源码：

void level_order(tNode *root){
	
	queue<tNode *> qu;
	tNode		*node;
	
	if(root)
		qu.push(root);
	else
		return;
	
	while(!qu.empty()){
		node = qu.front();						//Who will dequeue is the front. 
		cout << node->ch << " ";
		qu.pop();
		if(node->lchild)
			qu.push(node->lchild);
		if(node->rchild)
			qu.push(node->rchild);
	}
}

代码整合

以上给出的只是某些函数的代码，完整的代码如下，此代码可以直接运行得到相应的结果。代码中包含了C++中实现栈和队列的模板库。
代码整合