三角函数公式总结

最新推荐文章于 2024-10-09 16:48:52 发布

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本文详细介绍了三角函数的求导法则，包括正弦、余弦、正切等函数的导数表达式。同时，文章还涵盖了三角函数的重要公式，如和差角公式、和差化积公式、积化和差公式、二倍角公式、半角公式及万能公式，为读者提供了全面的数学知识。

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求导运算

$(\sin x)'=\cos x$ $(\cos x)'=\sin x$ $(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x }=\sec^2 x$ $(\cot x)'=-\csc ^2 x=-\frac{1}{\sin ^2 x}$ $(\sec x)'=\frac{\sin x}{\cos^ 2 x}=\sec x\tan x$ $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\arccos x )'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$ $(\mathrm{arccot}\,x)'=-\frac{1}{1+x^2}$ $(\mathrm{arcsec}\, x)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ $(\mathrm{arccsc}\, x)'=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

和差角公式

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$ $\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$ $\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}$

和差化积

$\sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac{\alpha\mp\beta}{2}$ $\cot\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\cot\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\tan \alpha+\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$

积化和差

$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$ $\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$ $\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$ $\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]$

二倍角公式

$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}$ $\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$

半角公式

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$ $\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ $\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ $\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$

万能公式

$\sin\alpha=\frac{2tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ $\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$ $\tan \alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}$