解答复杂数学算法题：最大公约数平方和求解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/doctor_godder/article/details/49004251

本文详细解析了一个复杂的数学算法问题，即如何计算给定范围内所有最大公约数平方和。通过引入关键公式和逐步推导，文章提供了清晰的解题路径，并给出实际应用示例，帮助读者理解并解决类似问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述 Description
师傅给cww布置了道题，cww看到题目就不想写，请你帮忙了：
设n为正整数，令f(n)为所有gcd(x,y)的最大值，且x和y满足 $1<=x<y<=n$ ，其中gcd指最大公约数。
举个例子：当n=3时，x,y可以取1,2或1,3或2,3，gcd(x,y)的最大值为1，因此f(3)=1。
给定正整数m，求当2<=i<=2m+1时，所有f(i)的平方和。
输入描述 Input Description
仅一行，一个正整数m。
输出描述 Output Description
仅一行，所求结果对10007取模的结果。
样例输入 Sample Input
SAMPLE #1:
3
SAMPLE #2:
10
样例输出 Sample Output
SAMPLE #1:
28
SAMPLE #2:
770
数据范围及提示 Data Size & Hint
10% : n ≤ 10.
20% : n ≤ 100.
40% : n ≤ 1000.
60% : n ≤ 10000.
80% : n ≤ 1000000.
100% : n ≤ 10^9.

一道丧心病狂的codevs月赛数学题。先来看f(x)，容易知道 $f(x)=\lfloor{x/2}\rfloor$ （x严格小于y保证其最大公约数不超过最大值的一半）。那么：
$\displaystyle\sum_{i=2}^{2m+1}{f(x)^2}=1^2+1^2+2^2+2^2+...+m^2+m^2=2*(1^2+2^2+3^2+...+m^2)=2*\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m(m+1)(2m+1)}{3}$

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,ans=1;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    if (n%3==0) ans=(ans*n/3)%10007; else ans=(ans*n)%10007;
    if ((n+1)%3==0) ans=(ans*((n+1)/3)%10007)%10007; else ans=(ans*((n+1))%10007)%10007;
    if ((2*n+1)%3==0) ans=(ans*((2*n+1)/3)%10007)%10007; else ans=(ans*((2*n+1))%10007)%10007;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}