白话解析BS模型（二）

维纳过程

    维纳过程其实就是物理学中布朗运动的统计学表达模型。就是均值为0，方差为1的标准正态分布。在一个很小时间Δt内，变量Z的变化Δz=Єsqrt(Δt)，Є服从于标准状态分布φ(0,1)。

股票价格的随机过程

    我们如果不考虑波动率，设股票的期望收益为μ，显然股票的涨跌幅ΔS=μSΔt。取Δt趋向0的极限为dS=μSdt，但这个价格变动不可能是平滑的，加上波动率带来的“噪音”后，我们得出了二叉树模型表示随机游走的极限情况：dS=μSdt+σSdz。加号前面是股票的期望涨幅，加号后面是在此涨幅上面的“噪音”变动，dz是一个维纳过程。这一模型的离散模型表达为ΔS=μSΔt+σSЄsqrt(Δt)。

    写一个例子以方便理解，现价20元，年预期收益率20%，波动率30%的一只股票一个月后的价格变动：ΔS=20*20%*(1/12)+20*30%*SQRT(1/12)Є=0.333+1.732Є。说明一个月价格增加量为均值为0.333元标准差为1.732元的正态分布。

    期权的价格是该标的股票价格和时间的函数，即ds=a(s,t)dt+b(s,t)dz。这个称为伊藤过程函数的演绎不是我能看得懂的，幸好我也不是很关心，我们只需知道这个期权和股票价格都受到同一个基本的不确定性来源dz的影响。我们还通过伊藤定理得到结论性的东西是未来时刻的股票价格服从对数状态分布，表达式为LN(S)=φ(LN(S0)+(μ-σ^2/2)T,σ*SQRT(T))，S为未来价格，S0为现价，T是时间，μ是期望收益率，σ为波动率，φ表示符合正态分布，逗号前是均值，逗号后是标准差。

    例如上例中股票一个月后价格的对数符合以下正态分布LN(S)~φ(LN(20)+(20%-30%*30%*0.5)*(1/12),30%*SQRT(1/12))即φ(3.0086,0.0866)。按95%置信度计算，即均值两面1.96倍标准差，S的区间为EXP(3.0086-1.86*0.0866)至EXP(3.0086+1.96*0.00866)，即17.097元至24.008元。我们可以说1个月后这只股票价格有95%的概率坐落于17.097~24.008元之间。

    让我们大致用白话总结一下：股票价格的随机过程假设服从布朗运动。在此过程中，持有者在任何短时间内的收益率都是正态分布，且任何两段不重合时间间隔的收益互相独立。未来时刻的股票价格服从对数状态分布。说到这里，我们基本上可以将Black-Scholes模型摆上桌面了。