递归式与递归

作者：disappearedgod

文章出处：http://blog.youkuaiyun.com/disappearedgod/article/details/25703313

时间：2014-5-13

前言

如果你想迅速复习算法来应付考试或者是面试的话，请看本人的其他博客。递归，尽管简单，却并不是良药。况且，在很多大公司看来，递归是一种非常麻烦并且耗时耗力的算法。诚然，从简单的计算角度来说，递归就是这样的。但是，如果你换一个角度来看看计算机的世界，递归却是不能被忽略的。如果你是一个有着人类智慧的正常人，而非一个为了工作变态的机器人的话，递归无疑是你思考中必不可少的元素。

正文

1. 那些年你曾经追过的递归

从高中起，我们就学过递归函数。还记不记得那些年你舍不得解开的归纳法？

无独有偶，《算大导论》一上来就给出了我们递归式的算法分析。难道是中美之间意识形态的第一次握手么？

说实话，我们应该这么看待这个问题。

计算机就是用来辅助人类思考的机器。现在一直流传着这样的话，我们有时候向前走的太远于是就忘了原点在哪里。计算机的初衷和他的成功点不同，是为了破译密码或者简易计算。所有算法中，递归是最符合这一个原始定义的。当然，在时空所限的今天，我们无法将我们的思想完完全全的融入这个小机器里面，所以我们想了很多方法来将节省。但是，对于时空的分析，递归又恰巧是最能说明问题的。

递归的前提，我认为是，世界都是可以二分的。倘若不能复用，就没有函数的意义。我们看待问题总是尽量的去归纳，总结，从而节省了时间。

2. 递归法

我们把一些想法变成可重复执行的函数和不可重复执行的过程。一个直观的想法就是用递归的方法来进行函数的方法探究。当我们选择递归时候，需要考虑两个问题：一个是要找到递归函数式，另一个是要找到递归边界。对于后面这个问题，给出了如下三个方法。

• 代换法。我们先猜有某个界存在。然后在用数学归纳法证明该猜测的正确性。
• 对会输方法。将递归式转化成树形结构。
• 主方法。给出递归式：T（n）=aT(n/b)+f（n）

2.1 代换法（substitution method）

代换法需要两个步骤

• 猜测解的形式
• 用数学归纳法找出使解真正有效的常数。

Tis: 

• 对于特殊边界条件证明来说，有时候不必要考虑T(1) = 1的条件。只需要n>=n0时，证明T(n)<=cnlgn，其中n0是常数。
• 通常的方法不能用来猜测递归式。我们可以用递归树的方法来辅助猜测。

2.2 递归树法（recursive tree）

2.3 主方法（master method）